21. Решение задачи о выборке с возвращением
Если первый вытянутый шар — красный, то неважно, из какой урны он вынут, так как теперь в этой урне будет поровну красных и черных шаров и второй шар не даст оснований для решения. Поэтому, если сначала вытянут красный шар, следует вернуть его в урну перед вторым извлечением. Если же вынут черный шар, то лучше не возвращать его в урну.
При такой стратегии вероятность правильного ответа равна:
| Урна A | Урна B | Решение | |
| Оба красные | 1/2·2/3·2/3 | 1/2·101/201·101/201 ≈ 1/8 | Урна A |
| Красный, черный | 1/2·2/3·1/3 | 1/2·101/201·100/201 ≈ 1/8 | Урна B |
| Черный, красный | 1/2·1/3·1 | 1/2·100/201·101/201 ≈ 1/8 | Урна A |
| Оба черные | 1/2·1/3·0 | 1/2·100/201·99/200 ≈ 1/8 | Урна B |
Полная вероятность правильного решения приближенно равна (заменяя 100/201 на 1/2 и т. д.):
Если вытягивать оба шара без возвращения, то вероятность угадать приблизительно равна 5/8, а при возвращении 21.5/36 (0.625 < 0.597).
22. Решение задачи о выборах
При a = 3 и b = 2 всеми возможными равновероятными последовательностями извлечения бюллетеней являются следующие:
АААВВ *ААВВА *АВВАА
*АВАВА *ВАВАА *ВААВА
*ВВААА ААВАВ *АВААВ
*ВАААВ,
где звездочкой отмечены комбинации, в которых имеет место равновесное положение. Таким образом, в нашем случае искомая вероятность равна 8/10.
Перейдем теперь к общей ситуации произвольных a и b. Рассмотрим сначала те последовательности, в которых первое равновесное положение достигается в случае, когда подсчитаны 2n бюллетеней, n ≤ b. Каждой последовательности, в которой A лидирует до первого ничейного результата, соответствует единственная последовательность, в которой лидирует B. Так, при n = 4 последовательности
ААВАВАВВ
с лидером A отвечает последовательность
ВВАВАВАА
в которой лидирует B. Эта последовательность получается из первой заменой A на B и B на A.
Итак, число последовательностей, в которых A лидирует до первой ничьей, равно числу последовательностей с лидером B. Задача сводится, таким образом, к вычислению вероятности равновесного положения, до которого лидирует B.
Так как за A подано большее количество голосов, то рано или поздно A становится лидером. Если первый бюллетень подан за B, то ничья неизбежна. Единственной возможностью ничьей с B, лидирующим в начале, является случай, когда первый бюллетень подан за B. Вероятность того, что это так, равна b/(a + b). Но это же значение равно вероятности ничьей с лидирующим в начале A, и, таким образом, вероятность ничейного положения равна
где r = a/b. Заметим, что если a много больше, чем b, т. е. когда r велико, вероятность ничьей мала (что интуитивно вполне понятно). Формула верна также и при b = a, так как в этом случае вероятность ничьей равна единице.
23. Решение задачи о ничьих при бросании монеты
Ниже мы обобщим метод решения задачи 22 и покажем, что вероятность отсутствия ничейного результата (при N четном и N нечетном) равна
Эти формулы показывают, что указанная вероятность одна и та же для четного N и для следующего за ним нечетного числа N + 1. Например, когда N = 4, надо применить вторую формулу. Шестнадцатью возможными исходами являются
ААAA BAAA ABBA BABB
*AAAB AABB BABA *BBAB
*AABA ABAB BBAA *BBBA
ABAA BAAB ABBB *BBBB
где звездочкой отмечены комбинации с равновесным положением.
Поскольку число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то вторая формула действительно верна для этого значения N.
При N = 2n вероятность x выигрышей A есть