30. Решение задачи о расчете булочника
Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.
Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.
Вероятность продать ровно r кексов есть e−20·20r/r!, как известно из задачи 28. Заменив 20 на m, мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть ∑e−m·mr/r! или
(A)
Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что
(B)
Сумма выражений (A) и (B) дает нам удвоенную вероятность четного числа кексов, так как члены с нечетными степенями m войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с четными степенями — с коэффициентом 2. Следовательно, деля на 2, получим вероятность четного числа покупок (1 + e−2m)/2. При m = 20 этот результат весьма близок к 0.5, так как число e−40 мало́. С другой стороны, если булочник продает в среднем один специальный торт ко дню рождения за одну поездку, то вероятность того, что будет продано четное число таких тортов, равняется приблизительно 0.568.
31. Решение задачи о парных днях рождения
В задачах такого рода предполагается обычно, что 29 февраля не может быть днем рождения, и что всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.
Решим несколько более общую задачу. Пусть N обозначает число равновероятных дней, r — число людей. Вычислим вероятность того, что все эти люди родились в разные дни. Тем самым мы найдем и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один и тот же день.
Для первого человека имеется N возможных дней, для второго — (N − 1), не совпадающих с днем рождения первого, для третьего — (N − 2), отличных от дней рождения первых двух и т. д., для r-го человека существует N − r + 1 возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения, равно
N·(N − 1)·...·(N − r + 1) (r сомножителей). (1)
Для определения интересующей нас вероятности надо найти еще общее число всевозможных расстановок дней рождения. Для каждого человека существует ровно N возможных дней, и общее число различных распределений дней рождения r людей равно
Nr. (2)
Так как, согласно предположению, все дни равновероятны, то искомая вероятность равна отношению (1) и (2). Таким образом, вероятность того, что имеются по крайней мере два одинаковых дня рождения, равна
Pr = 1 − N·(N − 1)·...·(N − r + 1)/Nr. (3)
Точное вычисление значения (3) потребовало бы при больших значениях N таких, как 365, значительного числа выкладок, чего в нашем случае можно избежать за счет использования таблицы логарифмов, представляя искомую вероятность в виде N! / (N − 2)!·Nr. Имеем
| lg(365!) = 778.399975, | lg(365) = 2.56229286 |
| r = 20, | lg(345!) = 727.38410, |
| r = 21, | lg(344!) = 724.84628, |
| r = 22, | lg(343!) = 722.30972, |
| r = 23, | lg(342!) = 719.77442, |
| r = 24, | lg(341!) = 717,24040, |
| r = 25, | lg(340!) = 714.70764. |
Небольшая работа с таблицами показывает, что при r = 23 вероятность по крайней мере одного совпадения дня рождений равна 0.5073, а при r = 22 эта вероятность равна 0.4757. Таким образом, r = 23 — наименьшее целое число, при котором имеет смысл заключать равноправное пари. Для большинства кажется удивительным, что это число довольно мало́, так как интуитивно ожидаемым ответом кажется 365/2. Мы обсудим это явление в следующей задаче, а пока заметим вот что:
Во-первых, следующая таблица дает значения вероятности парных дней рождения для различных значений R:
| R | 5 | 10 | 20 | 23 | 30 | 40 | 60 |
| PR | 0.027 | 0.117 | 0.411 | 0.507 | 0.706 | 0.891 | 0.994 |