Во-вторых, вспомним, что
Если x достаточно мало́, то члены порядка, большего, чем x, дают в сумму пренебрежимо малый вклад, и e−x приближенно равно 1 − x, или 1 − x можно при малых x заменить на e−x. Заметим, что
является произведением множителей вида (N − k)/N, где k много меньше N. Эти множители могут быть записаны в виде 1 − k/N, где 0 ≤ k ≤ r. Поэтому
Для исследования этой асимптотической формулы положим r = 23 и получим что-то около 0.500 вместо 0.507, или, положив r·(r − 1)/2·365 равным −lg(0.5) ≈ 0.693, найдем отсюда r.
В-третьих, предположим, что задача модифицирована таким образом: найти вероятность того, что хотя бы два дня рождения совпадают или приходятся на два дня, следующих один за другим (1 января следует за 31 декабря). Решение такой задачи предоставляется читателю.
32. Решение задачи «В поисках парных дней рождения»
Автор считает, что большинство людей имеет в виду именно эту задачу, когда им предлагают задачу 31 о парных днях рождения. Мысль о дне рождения, совпадающем с вашим, и вызывает удивление при ответе r = 23 в задаче о парных днях рождения. В настоящих условиях вам совсем не важно, совпадают ли дни рождения других людей, если только они не совпадают с вашим. Чаще всего считают, что ответ в этой задаче равен половине от 365 или 183. Из-за смешения двух проблем ответ r = 23 кажется тогда неправдоподобно маленьким.
Но и в настоящей задаче интуитивный ответ 183 оказывается неправильным. Дело в том, что выборка дней рождения производится с возвращением. Если первый из опрошенных родился 4-го июля, то ничто не мешает и последующим иметь тот же день рождения. Вероятность того, что опрошенный человек родился не в один день с вами, равна (N − 1)/N, где N = 365 — число дней в году. При опросе n людей вероятность того, что все они произошли на свет не в ваш день рождения, равна [(N − 1)/N]n, и вероятность того, что хотя бы у одного день рождения тот же самый, что и ваш, равна
(4)
Нас интересует наименьшее значение n, для которого Pn не меньше 1/2. Логарифм 364 равен 2.56110, а 1/2 равен −0.30103.
Если мы перейдем к логарифмам, то обнаружим, что искомое значение n равно 253, что довольно значительно отличается от 183.
Можно поступить и иначе, использовав опять аппроксимацию
Тогда
и
Логарифмируя, получаем n/N ≈ 0.693, n ≈ 0.693N. Для N = 365 получаем n = 253.
Эта задача легче предыдущей, и обсуждение связи между их ответами представляется поучительным.
33. Решение задачи о соотношении между разными задачами о парных днях рождения
По существу, вопрос состоит в определении числа возможных случаев в задаче о парных днях рождения. В задаче об индивидуальном дне рождения для n людей имеется n возможностей встретить человека, день рождения которого такой же, как у вас. В задаче о парных днях рождения каждый человек сравнивает свой день рождения с r − 1 днями рождения остальных людей. Число пар равно, таким образом, r·(r − 1)/2, что и является числом возможных случаев. Для того чтобы вероятности в двух задачах приблизительно равнялись, должно выполняться соотношение
(1)
Например, при r = 23 число n должно равняться 23·22/2 = 253, что согласуется с полученным ранее.
Мы уже видели, что при n значительно меньшем по сравнению с N, вероятность того, что ни один из n людей не родился с вами в один и тот же день, приближенно равна e−n/N. С другой стороны, в задаче о парных днях рождения было показано, что для значений r, малых по сравнению с N, вероятность отсутствия парных дней рождения приблизительно равна e−r·(r − 1)/2N. Для равенства этих двух вероятностей должно иметь место соотношение (1). Полученная аппроксимационная формула поясняет связь этих двух задач. Из сказанного ранее следует, что r·(r − 1)/2 имеет смысл числа возможных случаев, что также дает основание для сопоставления n и r·(r − 1)/2.