b² − c ≥ 0.
На приведенном рисунке изображена парабола b² = c и показана область, где наше уравнение имеет вещественные корни для B = 4.
Нетрудно подсчитать, что площадь незаштрихованной области равна 4/3∙B3/2 (при B ≥ 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B². Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/3∙√B. При B = 4 ответ равен 1/6. С ростом B 1/√B стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.
Следует заметить, что эта задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением ax² + 2bx + c = 0. Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.
51. Решение вадачи о двумерном случайном блуждании
В одномерном случайном блуждании (см. задачу 35 «На краю утеса», последняя часть решения) мы нашли, что вероятность возвращения частицы в начало есть l, если вероятности шагов налево и направо одинаковы. Но положение дел все же весьма деликатно сбалансировано. Если бы одна из вероятностей отличалась от 1/2, то частица удалилась бы в бесконечность. В случае двух измерений можно предположить, что у частицы больше возможностей для ухода в бесконечность. Выясним, так ли это. Мы постараемся найти среднее число возвращений частицы в начало и отсюда определить значение вероятности возвращения частицы. Прежде всего, сколько раз частица вернется в начало? Если P есть вероятность возвращения, то 1 − P = Q есть вероятность того, что возвращения не будет. Тогда вероятность ровно x возвращений есть PxQ, так как после каждого возвращения частицу можно рассматривать как снова выходящую из начала. Если бы P было известно, то среднее число возвращений в начало координат можно было бы найти, суммируя геометрический ряд вида
Из задачи 4 об испытаниях до первого успеха видно, что среднее число возвращений есть величина, обратная к вероятности успеха. В упомянутой задаче успех заканчивал серию испытаний, в нашей же задаче серию заканчивает невозвращение в начало, так что среднее число испытаний до первого успеха равно 1/Q. Следовательно, среднее число успехов равно 1/Q − 1. Если Q = l, то среднее число успехов равняется 0, и с вероятностью 1 частица будет потеряна и никогда не вернется. С другой стороны, чем меньше Q, тем больше среднее число возвращений. Действительно, каждому значению Q отвечает среднее число возвращений и для каждого среднего числа найдется соответствующее Q. Если среднее число возвращений перед окончательным уходом бесконечно (неограниченно), то Q должно быть равным нулю, а P равным 1. Более формально, P → 1 при µ → ∞. Теперь видно, что для решения задачи о двумерном блуждании мы должны подсчитать значение µ.
Выходя из начала, частица может попасть в него обратно лишь после четного числа шагов. Более того, ее путь может быть представлен как «произведение» двух независимых одномерных случайных блужданий, каждое из которых начинается в начале координат, и одно происходит в вертикальном направлении, а другое — в горизонтальном направлении. После двух шагов горизонтальная компонента x имеет распределение
| x | -2 | 0 | 2 |
| P(x) | 1/4 | 2/4 | 1/4 |
Вертикальная компонента после двух шагов распределена точно так же, и вероятности их совместного распределения в девяти точках выглядят следующим образом:
| Распределение X | ||||||
| x | -2 | 0 | 2 | |||
| P(x) | 1/4 | 2/4 | 1/4 | |||
| Распределение Y | ||||||
| y | P(y) | P(x, y) | ||||
| 2 | 1/4 | 1/16 | 2/16 | 1/16 | ||
| 0 | 2/4 | 2/16 | 4/16 | 2/16 | ||
| -2 | 1/4 | 1/16 | 2/16 | 1/16 | ||
| Совместное распределение X и Y после двух шагов | ||||||