372. Кадриль кузнечиков. Поменяйте местами белые шашки с черными за возможно меньшее число ходов. Нельзя ходить по диагонали или «есть» шашки противника. Белые шашки могут ходить только вправо или вверх, а черные — только влево или вниз, но они могут перепрыгивать через шашки другого цвета, как при обычной игре в шашки. Решить задачу очень легко, если вам удастся нащупать метод решения.
373. Четыре монеты. Возьмите 4 одинаковые монеты и расположите их на столе без помощи другой монеты или других вспомогательных средств таким образом, чтобы пятую монету можно было точно подогнать к четырем данным, не сдвигая последних (на рисунке заштрихованный кружок изображает пятую монету).
Положившись лишь на собственный глазомер, вы, вероятнее всего, потерпите неудачу. В то же время условие можно выполнить с абсолютной точностью. Но как?
374. Шесть монет. Положите 6 одинаковых монет на стол, а затем разместите их, как показано на рисунке белыми кружками, так, чтобы, опустив седьмую монету (черный кружок) в центр, вы привели бы ее тем самым в соприкосновение со всеми шестью монетами. Задание требуется выполнить совершенно точно, а не «на глазок». Приподнимать какую-либо монету со стола (иначе вообще не получилось бы никакой головоломки) или совершать какие-либо измерения не разрешается. В вашем распоряжении только шесть монет.
Комбинаторные и топологические задачи
375. Неправильный магический квадрат. На помещенном здесь рисунке изображен правильный магический квадрат, составленный из чисел от 1 до 16 включительно. Сумма чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на любой из двух больших диагоналей, равна 34. Предположим теперь, что вам запрещено использовать числа 2 и 15, но вместо этого вы можете повторить любые два числа, уже использованные ранее.
Как следует расположить числа, чтобы в новом квадрате их суммы во всех строках, столбцах и на диагоналях по-прежнему равнялись 34? Успех зависит от того, какими числами вы замените 2 и 15.
376. Недоразумение с магическим квадратом. Перед вами магический квадрат пятого порядка. Я обнаружил, что подавляющее большинство людей, не знакомых глубоко с теорией магических квадратов, убеждены, будто в квадратах пятого порядка в центре непременно должно стоять число 13. Один читатель, на протяжении многих лет забавлявшийся этим квадратом, был просто поражен, когда узнал от меня, что в центре такого квадрата может стоять любое число от 1 до 25.
Докажите, что это действительно так. Попытайтесь, например, составить магический квадрат пятого порядка, в центре которого стояла бы 1.
377. Разностные квадраты. Можете ли вы расположить 9 цифр в виде квадрата таким образом, чтобы в любой строке, в любом столбце и на каждой из больших диагоналей разности между суммой двух цифр и третьей цифрой совпадали между собой? На нашем рисунке приведен квадрат, в котором все строки и столбцы удовлетворяют требуемому условию — разность в них равна 3 (например, 4 + 2 - 3, 1 + 9 - 7, 6 + 5 - 8 и т. д.), а вот диагонали «подкачали», поскольку разности 8 - (4 + 1) и 6 - (1 + 2) получены запрещенным способом: не из одной цифры должна вычитаться сумма двух остальных, а из суммы двух — одна.
Сколько всего существует решений?
378. Так ли просто? Перед вами простой магический квадрат, у которого суммы чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на главных диагоналях, равны 72. Головоломка состоит в том, чтобы превратить его в мультипликативный магический квадрат, у которого произведения чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце или на любой из больших диагоналей, совпадали бы между собой. Не разрешается ни менять числа местами, ни прибавлять к ним что-либо, ни вообще пользоваться какими-либо арифметическими знаками! Можно лишь передвигать цифры внутри одной клетки. Так, вместо 27 разрешается брать 72.
Если вам удастся подобрать «ключ» к решению, то задача окажется необычайно простой. В противном случае решить головоломку почти невозможно.
379. Фокус с магическим квадратом. Этот фокус был весьма разрекламирован в США много лет назад.