116. Обозначим наше число через ABCABCABC. Если суммы цифр, обозначенных буквами A, B и C, равны соответственно:
| А | В | С |
| 18 | 19 | 8 |
| 15 | 15 | 15 |
| 12 | 11 | 22 |
| 19 | 8 | 18 |
| 22 | 12 | 11 |
| 8 | 18 | 19 |
| 11 | 22 | 12 |
то в первых трех случаях 11A - 10B = C, в следующих двух 11A - 10B - C = 111(3 × 37). И наконец, в последних двух случаях 10B + C - 11A = 111. Если имеет место один из этих случаев, то независимо от конкретного значения соответствующих цифр наше число делится на 37. Вот пример первого случая:
| А | В | С | А | В | С | A | В | С |
| 9 | 8 | 4 | 7 | 6 | 3 | 2 | 5 | 1 |
где сумма A-цифр равна 18, B-цифр равна 19 и C-цифр равна 8.
Нетрудно видеть, что первые три случая могут встречаться в 22, вторые два — в 10 и последние два — в 10 вариантах, то есть всего в 42 вариантах. Но в каждом варианте число перестановок цифр A равно 6, цифр B равно 6 и цифр C тоже равно 6. Общее число перестановок будет 6 × 6 × 6 = 216. Умножив число вариантов на число перестановок, мы получаем 9072 благоприятных (число делится на 37) исходов. Поскольку число перестановок девяти цифр равно 362 880, то вероятность благоприятного исхода равна 9072/362880, или 
. Можно сказать иначе: имеется 39 шансов против 1 за то, что число не разделится на 37.
117. Существуют четыре решения: 2 438 195 760, 3 785 942 160, 4 753 869 120, 4 876 391 520. Последняя цифра обязана быть нулем. При любом размещении цифр с четной цифрой перед нулем число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15 и 18. Остается рассмотреть только 7, 11, 13, 16 и 17. (Делимость на 8 и 14 следует из делимости на 16 и 7.) Для делимости на 11 цифры, стоящие на четных местах, должны в сумме давать 28, а на нечетных — 17, или наоборот. Для того чтобы наше число делилось на 7 × 11 × 13 = 1001, число, образованное первой тройкой цифр, и число, образованное последней тройкой (мы отбрасываем нуль), в сумме должны давать число, образованное средней тройкой цифр. (Отметим, что третий из приведенных случаев есть на самом деле: 474 --1386 - 912, где 1 перенесена вперед и прибавлена к 4.) Однако самое лучшее, что мы можем сделать, это умножить наименьшее общее кратное (н. о. к.) наших делителей (12 252 240) на самое маленькое число (82), при котором произведение (1 004 683 680) будет содержать 10 цифр, а затем прибавлять н. о. к. до тех пор, пока все цифры не станут различными.
Умножив н. о. к. на 199, получим первое решение, умножив на 309 — второе, на 388 — третье и на 398 — четвертое решение. Выкладки можно существенно сократить, перескакивая через группы чисел, в которых цифры очевидным образом повторяются. Все ответы можно получить с помощью арифмометра за каких-нибудь двадцать минут.
118. Наименьшим возможным числом будет 3 333 377 733. Оно делится на 3 и на 7, и тем же свойством обладает сумма его цифр (42). Число должно содержать по крайней мере 3 семерки и 7 троек, причем семерки следует перенести как можно дальше вправо.
119. Искомыми числами являются 5832, 17 576 и 19 683. Сумма цифр каждого из них, равная соответственно 18, 26 и 27, совпадает с соответствующим кубическим корнем.
120. Наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям, равно 35 641 667 749. Другие числа получаются прибавлением к данному любого целого, кратного числу 46 895 573 610.
121. Искомыми числами будут 162, 243, 324, 392, 405, 512, 605, 648, 810 и 972. Этим, по-видимому, исчерпываются все возможные случаи.
122. Существуют три решения: 56 169 (2372), где 56 + 69 = 125 (53); 63 001 (2512), где 63 + 01 = 64 (43) и 23 104 (1522), где 23 + 04 = 27 (33).
123. Произведение чисел 989 010 989 и 123 456 789 равно 122 100 120 987 654 321, что и требовалось найти.
124. Ответ профессора гласил:
| 297 | 564 | 831 |
| 291 | 564 | 837 |
| 237 | 564 | 891 |
| 231 | 564 | 897 |