280. При тех размерах, которые приведены на приложенном к задаче рисунке, никакого треугольника построить вообще нельзя, так как сумма двух меньших сторон не будет превосходить третьей стороны. Очевидно, профессор хотел проверить сообразительность своих учеников.
281. Это снова была шутка. Владелец участка может строить дом, где пожелает, поскольку сумма перпендикуляров, опущенных из любой внутренней точки равностороннего треугольника на стороны, равна высоте данного треугольника.
282. Всего таких квадратов 19. Из них 9 того же размера, что и квадрат, отметенный буквами a, 4 того же размера, что и квадрат, отмеченный буквами b, 4 размера c и 2 размера d. Если убрать 6 фишек, отмеченных буквой e, то из оставшихся фишек нельзя будет образовать ни одного квадрата.
[На самом деле квадратов 21. Не сумеет ли читатель найти два квадрата, пропущенные Дьюдени? Ответ на вторую часть задачи остается тем не менее верным. — М. Г.]
283. Число способов, с помощью которых из 21 дерева можно выбрать 3, равно 
×
×
, или 1330. Треугольник можно образовать из любых трех деревьев, не лежащих на одной прямой. Три дерева на пунктирной прямой AB можно выбрать 20 способами, на следующей параллельной прямой с пятью деревьями — десятью способами, на следующей — четырьмя и на следующей — одним способом, что в совокупности составляет 35 способов. Аналогично прямая BC вместе с параллельными даст 35 способов и прямая AC с параллельными — тоже 35 способов. Далее, прямая AD вместе с прямыми, ей параллельными, даст 3 способа, а прямые BF и CE со своими параллельными — по 3 способа каждая. Следовательно, 3 дерева, лежащие на одной прямой, можно выбрать 35 + 35 + 35 + 3 + 3 + 3 = 114 различными способами. Значит, 1330 - 114 = 1216 и есть искомое число способов, с помощью которых можно огородить треугольный участок.
284. На рисунке пунктиром показаны окружность, ограничивающая красный круг, и вписанный в нее правильный пятиугольник. Общий центр окружности и пятиугольника обозначен буквой C. Найдем точку D, равноотстоящую от A, B и C, и радиусом AD проведем окружность ABC. Пять дисков такого размера полностью покроют круг, если их центры поместить в точки D, E, F, G и H. Если диаметр большого круга равен 6 дм, то диаметры дисков немного меньше 4 дм (диаметры дисков равны 4 дм «с точностью до ½ дм»). Если у вас нет никаких тайных отметок на круге, то потребуется немного внимания и тренированности, чтобы класть диски на нужные места, не сдвигая их потом.
Следует добавить, что большой круг можно покрыть, если отношение диаметров превышает 0,6094185, и невозможно, если оно меньше 0,6094180. В нашем случае, когда все диски проходят через центр, отношение равно 0,6180340.
285. Чтобы разделить круглое поле тремя изгородями равной длины на 4 равные части, первоначально следует разделить на 4 части диаметр круга, а затем по обе его стороны описать полуокружности, как показано на рисунке. Изогнутые линии изобразят тогда искомые изгороди.
286. Если построить прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру круга, а другая в 3 раза больше, то его диагональ будет довольно близка к ответу. Практически ее отношение к диаметру будет равно 
, или 3,1622... Мы рекомендуем следующий метод.
Проведем диаметр AB. Разделим точкой D полуокружность пополам. Радиусом AC из точек A к B сделаем засечки E и F и проведем прямые DE и DF. Отрезок DG плюс отрезок GH дадут ¼ длины окружности IK с относительной погрешностью 0,005. Ломаная IKLM и будет искомой.
Существует другой метод, дающий относительную погрешность 0,017, но он сложнее.
287. Поскольку внешние колеса движутся вдвое быстрее внутренних, то длина окружности, которую они описывают, в 2 раза больше длины внутренней окружности. Следовательно, диаметр одного круга больше диаметра другого в 2 раза. Так как расстояние между колесами равно 1,5 м, то диаметр большего круга равен 6 м. Умножив 6 м на 3,1416 (обычное приближенное значение числа π), мы получим 18,85 м — длину окружности большего круга.