3. Суммы чисел в противоположных внешних треугольниках равны между собой. Так, сумма чисел в треугольнике AIK равна сумме чисел в треугольнике LMF.
4. Если разность между 26 и суммой чисел в треугольнике ABC прибавить к любому числу, стоящему в вершине, скажем A, то получится сумма двух чисел, находящихся в соответствующих положениях L и M. Так (см. рисунок II), 10 + 13 = 11 + 12 и 6 + 13 = 8 + 11.
5. Существует 6 пар, дающих в сумме 13, а именно 12 + 1, 11 + 2, 10 + 3, 9 + 4, 8 + 5, 7 + 6, и среди вершин может оказаться 1 или 2 такие пары, но никогда не окажется 3. Относительное расположение этих пар определяет тип решения. У регулярного типа, как на рисунке II, A и F, а также G и H (что показано пунктирными линиями) в сумме всегда дают 13 (при более подробном доказательстве этот класс необходимо было бы разбить на 2 подкласса и рассматривать каждый из них в отдельности). На рисунках III и IV приведены примеры двух нерегулярных типов.
Всего существует 37 решений (или 74, если мы будем считать и дополнительные решения, упомянутые в п. 1), из которых 32 будут регулярными и 5 нерегулярными.
У 6 из 37 решений сумма вершин равна 26, а именно:
| 10 | 6 | 2 | 3 | 1 | 4 | 7 | 9 | 5 | 12 | 11 | 8 |
| 9 | 7 | 1 | 4 | 3 | 2 | 6 | 11 | 5 | 10 | 12 | 8 |
| 5 | 4 | 6 | 8 | 2 | 1 | 9 | 12 | 3 | 11 | 7 | 10 |
| 5 | 2 | 7 | 8 | 1 | 3 | 11 | 10 | 4 | 12 | 6 | 9 |
| 10 | 3 | 1 | 4 | 2 | 6 | 9 | 8 | 7 | 12 | 11 | 5 |
| 8 | 5 | 3 | 1 | 2 | 7 | 10 | 4 | 11 | 9 | 12 | 6 |
Первое решение представлено на рисунке II, а предпоследнее — на рисунке III, так что, обратившись к рисунку, вы поймете, как следует располагать эти числа на звезде. Читателю следует все приведенные выше решения изобразить на звезде и помнить, что вместо 6 вместе с дополнительными получится 12 решений. Первые четыре решения будут регулярного, а последние два — нерегулярного типа. Если читатель попытается найти все 37 (или 74) решений данной головоломки, то ему будет полезно знать, что существует соответственно 3, 6, 2, 4, 7, 6, 9 (всего 37) решений с суммой вершин, равной 24, 26, 30, 32, 34, 36, 38.
[Для шестиконечной звезды существует 80 решений. — М. Г.]
385. Поместите 5 в верхний кружок. Затем расположите четыре числа (7, 11, 9, 3) на горизонтальной линии так, чтобы сумма внешних чисел равнялась 10, а внутренних 20 и чтобы разность между двумя внешними числами в два раза превышала разность между двумя внутренними числами. Затем поместите числа, дополняющие их до 15, в соответствующие кружочки, как показано пунктирными линиями. Остальные четыре числа (13, 2, 14, 1) расставить уже легко. Из этого основного размещения мы можем получить три остальных: первое — поменяйте местами 13 с 1, а 14 с 2; второе и третье — подставьте в полученных двух размещениях вместо каждого числа разность между ним и 15 (например, 10 вместо 5, 8 вместо 7, 4 вместо 11 и т. д.). Следуя этим правилам, читатель может сам построить вторую группу из четырех решений.
Общее решение слишком длинно, чтобы приводить его здесь полностью, однако существует всего 56 различных размещений (вместе с дополнительными). Я разбиваю их на три класса. В класс I включаются все случаи, подобные приведенным выше, где пары в положениях 7—8, 13—2, 3—12, 14—1 в сумме дают 15, а всего таких случаев 20. В класс II включаются случаи, в которых пары в положениях 7—2, 8—13, 3—1, 12—14 в сумме дают 15; таких случаев снова 20. В класс III входят все случаи, в которых пары в положениях 7—8, 13—2, 3—1, 12—4 в сумме дают 15; таких случаев 16. Всего получается 56 случаев.
[Для семиконечной звезды существует 72 решения. — М. Г.]
386. На рисунке приведено искомое решение. Сумма четырех чисел вдоль любой прямой равна 34. Если решение для одной звезды известно, то его можно без труда преобразовать в решение для второй звезды, отметив, как перемещаются числа в приведенных двух решениях.