Проблема точек
Вопрос, который шевалье де Мере задал Паскалю и который привел к современной теории вероятности, был "проблемой очков". Предположим, что азартная игра в салоне шевалье прервана. Каково справедливое распределение ставок между игроками, учитывая результаты незавершенной игры? Например, два игрока вносят в банк 100 луидоров и договариваются, что победитель наибольшей из семи партий зачерпнет пул. Герцог из A выиграл три партии, а маркиз из B - одну. Герцога вызывают к королю, и вечерние развлечения внезапно прекращаются.
До Паскаля общепринятое решение этой проблемы отдавало три четверти банка герцогу А, признавая, что он выиграл три из четырех фактически сыгранных партий. Это решение было разработано в конце XV века итальянским математиком Лукой Пачоли, которого многие считают одним из изобретателей бухгалтерского учета, и на первый взгляд кажется правдоподобным и справедливым. Но шевалье не был убежден, что Пачоли пришел к правильному ответу, и два великих математика подтвердили его сомнения. Если бы игра продолжалась, маркизу для успеха нужно было бы выиграть все три оставшиеся партии. Если вероятность того, что любой из игроков выиграет каждую партию, равна половине, то вероятность того, что маркизу удастся выиграть все три партии, равна одной восьмой. Отсюда следует, что вероятность того, что Герцог выиграет пул, равна семи восьмым. Поэтому, рассуждали они, банк должен быть разделен в этих пропорциях.
Решение Ферма-Паскаля вводит три понятия, которые являются фундаментальными для всей последующей работы. Существует математическое понятие вероятности - шансы на победу в любой конкретной игре. Существует метод расчета составной вероятности - вероятность выигрыша трех последовательных игр получается из вероятности одного выигрыша, наполовину увеличенной до силы трех. А решение вводит идею ожидаемой ценности - суммы, которую каждый игрок мог бы ожидать выиграть, если бы события вечера повторялись много раз. И сегодня мы можем запрограммировать компьютер на моделирование этого сценария многократного повторения и проверить, что рассчитанное ожидаемое значение действительно описывает то, что произошло бы, если бы события вечера повторялись снова и снова. (А в салоне шевалье, вероятно, так и было).
Решение проблемы точек было ранним свидетельством силы вероятностных рассуждений. Противоположный интуитивный ответ Паскаля становится убедительным, если понять его мысль. Важно предвидеть будущее, а не анализировать прошлое. Если бы герцог и маркиз планировали сыграть сто партий, то преимущество герцога три к одному на ранней стадии вечера мало что значило бы. Но если бы было сыграно только пять партий, маркиз, конечно, проиграл бы - результат пятой партии не имел бы значения, и она могла бы даже не быть сыграна.
Заплатить за Байеса
Последний шаг в развитии новой теории вероятности был достигнут маловероятным героем - безвестным сельским пресвитерианским священником восемнадцатого века в Англии. Преподобный Томас Байес случайно похоронен в том месте, где сейчас находится центр финансового района Лондона. Среди своих бумаг он оставил теорему, которая сегодня является одной из самых распространенных идей в статистике. Возможно, Байес и был неизвестен при жизни, но его имя известно сегодня во всем мире: в его честь названы отрасли статистики и экономики. Термин "байесовский", который описывает не только статистическую технику, но и школу мысли, является интеллектуальным наследием одного человека, работавшего в сельской местности Кента.
Теорема Байеса позволяет вычислять условные вероятности : какова вероятность того, что произойдет А, учитывая, что произошло В? Хотя Паскаль и Фермат не достигли общности анализа кентского священника, проблема очков шевалье - это проблема условной вероятности. Трудно представить себе обстановку и компанию, менее благоприятную для преподобного Байеса, чем та, с которой он столкнулся бы в салоне шевалье де Мере. Но давайте дадим волю воображению и поместим его туда, ведя счет на "байесовском циферблате" над элегантной каминной полкой. На циферблате часов находится указатель, который регистрирует вероятность того, что каждый выиграет банк, и который может колебаться от полной уверенности в нулевой вероятности в одной крайности до полной уверенности в 100% вероятности в другой. Так как игра честная, отметка изначально установлена посередине на уровне 50%. Когда герцог выиграл первую партию, циферблат качнулся в пользу герцога - примерно до 67%, поскольку священнослужитель поспешно произвел расчеты, требуемые его теоремой. А когда маркиз выиграл вторую партию, циферблат вернулся в исходное положение 50 на 50. Но затем герцог выиграл третью и четвертую партии, и циферблат снова сдвинулся, так что, когда король прервал вечер, показания зафиксировали 87,5% в пользу герцога.