Мальчики и девочки рождаются в более или менее равном количестве. И хотя число рождений в Англии и Франции также одинаково - около 700 000 в год - вероятность того, что первый ребенок в семье с двумя детьми - англичанин, а второй - француз, очень мала, гораздо меньше, чем вероятность того, что оба ребенка - англичане или французы. EE и FF встречаются очень часто, FE и EF - нет. Этот очевидный момент иллюстрирует, почему всегда опасно говорить о вероятностях без понимания процессов, которые порождают наблюдаемые данные, как многие с удивлением обнаружили во время мирового финансового кризиса.
Теперь предположим, что вам сказали, что у Смитов двое детей, и вы знаете, что один из них - девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок тоже девочка? Эта проблема была впервые поставлена в 1959 году Мартином Гарднером, американским математическим журналистом и составителем головоломок, и с тех пор остается спорной и нерешенной, "печально известной", по мнению одного автора. Как отмечается в Википедии, почти все, кто писал об этой проблеме, по-прежнему убеждены, что их различные ответы верны.
Существуют четыре равновероятные последовательности рождения: BB, GG, BG и GB. Одна из них - BB - исключается информацией о том, что один ребенок - девочка. Остальные три остаются равновероятными. Только в одном случае из оставшихся трех у девочки есть сестра (GG). Таким образом, соответствующая вероятность составляет один к трем. Это кажется убедительным.
Но посмотрите на этот вопрос с другой стороны. Предположим, вам ничего не сказали о поле первого ребенка. Тогда было бы легко согласиться с тем, что вероятность того, что второй ребенок будет девочкой, равна половине. Но поскольку ребенок с одинаковой вероятностью может быть мальчиком или девочкой, а пол второго ребенка не зависит от пола первого, информация о том, что один из двух детей - девочка, ничего не говорит вам о вероятности того, что второй ребенок - девочка. Следовательно, соответствующая вероятность равна один к двум. Этот аргумент также кажется убедительным.
Но только одно из этих предложений может быть верным. Так какова вероятность того, что у девочки есть сестра, - одна из двух или одна из трех? Ответ может зависеть от того, как именно была получена информация о том, что один ребенок - девочка. Без такого знания проблема недостаточно определена. Вы приглашаете новых соседей, Смитов, на чай, и они говорят вам, что приведут двух своих детей. Первый ребенок, выбежавший на тропинку, - девочка. В отсутствие какой-либо другой информации разумно предположить, что это наблюдение ничего не говорит нам о поле второго ребенка, так же как пол первенца ничего не говорит нам о поле второго ребенка. Поэтому ответом на вопрос будет половина - известная частота детей женского пола.
Но предположим, что вы занимаетесь вербовкой в ряды бойскаутов или девочек-гидов. Вы посещаете собрание девочек-гидов и предлагаете тем присутствующим девочкам, у которых есть ровно одна родная сестра, обратиться к ней, если эта сестра - девочка, по поводу членства. Какова вероятность того, что у девочек есть сестра, которую можно завербовать? Сейчас вы рассматриваете только семьи с двумя детьми, в которых есть хотя бы одна девочка, что исключает включение любых домохозяйств ВВ. В отсутствие какой-либо другой информации вероятность равна одной трети. Но проблема не до конца определена. Домашние хозяйства GG могут быть перепредставлены. Вступают ли девочки в "Гиды", чтобы уйти от своих братьев, сестер или потому, что слышали хорошие отзывы от своих братьев и сестер? Нивелирует ли один эффект другой? Возможно. А может быть, и нет. Мы просто не знаем. А что если вы встретитесь с ребенком по какому-то незапланированному поводу? Это может быть похоже на встречу с первым ребенком на тропинке, а может и нет. Возможно, отцы чаще берут своих сыновей на футбольный матч, а матери - своих дочерей в поход по магазинам. А может быть, и нет. В условиях радикальной неопределенности субъективные вероятности обязательно чувствительны к тривиальной информации и деталям спецификации проблемы, и поэтому не имеет смысла формулировать их или действовать на их основе.
Вам никогда не придется качаться
Отрицать существование субъективных вероятностей - значит отрицать, что агенты способны последовательно выбирать между лотереями", - пишут ЛеРой и Сингелл. Идея - которая присутствовала, часто неявно, а иногда и явно, с тех пор, как субъективные вероятности были впервые использованы - заключается в том, что наблюдатель может вывести субъективные вероятности, предоставляя людям возможность делать ставки на различные исходы. Термин "пигнистическая вероятность" был придуман Филиппом Смэтсом для описания процесса утверждения о выводе субъективных вероятностей из наблюдаемого поведения в азартных играх. Фраза происходит от латинского слова pignus , означающего пари. Я думаю, что вероятность того, что Доббин выиграет Кентуккийское дерби, равна 0,9" означает, что я поставлю на Доббина, если шансы будут выше этого значения, и против Доббина, если шансы будут хуже. Некоторые читатели могут удивиться, что тот, кто считает, что Доббин выиграет скачки, будет ставить против Доббина, и еще больше удивятся предположению, что для них может быть нерационально отказываться от возможности сделать это. Это первый признак того, что многие люди не мыслят естественно в терминах субъективных вероятностей и что значение "рациональности" является спорным.