Этот тип распределения известен как закон мощности - еще одна широко применяемая математическая формула, которая заметно отличается от распределений классической статистики. В нормальном распределении среднее значение (среднее), медиана (середина) и мода (наиболее часто наблюдаемый результат) одинаковы. Эти показатели центральной тенденции будут несколько отличаться, если распределение логнормальное, но основная закономерность, при которой большинство наблюдений группируется вокруг центра, является общей для всех. Однако свойства распределений с силовым законом существенно отличаются. В частности, экстремальные результаты встречаются гораздо чаще, а среднее значение некоторых распределений по закону мощности невозможно вычислить. Если бы рост распределялся так же, как употребление слов, большинство мужчин были бы карликами (большинство слов вообще не употребляется), но несколько человек были бы ростом в сотни футов (человеческий эквивалент слов "the" и "of").
Законы мощности имеют гораздо более широкое применение, чем частота слов. Австралиец Дон Брэдман был величайшим бэтсменом в истории крикета, и установленный закон мощности позволяет нам оценить, сколько бэтсменов должно быть, прежде чем появится еще один такой же хороший, как Брэдман, сколько бэтсменов так же плохи, как авторы, и даже предположить, насколько хорош был Брэдман по сравнению с другими прекрасными игроками других видов спорта (потрясающе хорош).
Нормальное распределение имеет множество применений. Его можно применить к росту бэтсменов. Но не их мастерство - если бы это было возможно, то никогда бы не было игрока калибра Брэдмана, а также миллионов начинающих крикетистов, которые были бы уничтожены первым же мячом, пущенным компетентным соперником. Нормальное распределение также не может описывать землетрясения; если бы оно могло, то никогда не было бы землетрясения, подобного тому, которое произошло в Вальдивии в Чили в 1960 году, - самого большого, измеренного современным регистрирующим оборудованием. Землетрясения происходят по степенному закону - каждый день происходит множество мелких землетрясений, настолько мелких, что они проходят незамеченными. Так же как и астероиды - кратер Юкатана был образован самым крупным из известных нам астероидов, но Земля регулярно подвергается ударам объектов из космоса. Девятнадцатое октября 1987 года, когда основные американские фондовые индексы упали примерно на 20% в течение дня, является финансовым аналогом землетрясения в Вальдивии. Экстремальные события характерны для силовых законов и редки для нормальных распределений.
Применение законов мощности в экономике было впервые применено в начале 1960-х годов польско-франко-американским математиком Бенуа Мандельбротом. Он установил, что движение цен на хлопок может быть описано степенным законом. Силовые законы обладают свойством "масштабной инвариантности". Если вы посмотрите на снежинку под мощным микроскопом, то форма каждой маленькой детали, которую вы увидите, будет такой же, как и форма, которую вы видите невооруженным глазом. Свойство, создающее эту прекрасную структуру, называется фрактальной геометрией. График движения цен на ценные бумаги за каждую минуту очень похож на график движения цен на ценные бумаги за каждый день. Силовые законы лучше, чем нормальные и логнормальные распределения, улавливают крайние точки рыночных колебаний, что важно для контроля риска и понимания долгосрочных моделей доходности. Законы мощности могут быть даже полезны для понимания частоты использования буквы K.
Несмотря на очевидную широкую сферу применения степенных законов и эстетическую привлекательность лежащей в их основе математики, этот вид анализа получил гораздо меньше внимания со стороны экономистов и статистиков, чем традиционные распределения повседневной статистики, такие как нормальное. Слишком много интеллектуального капитала было вложено в предположения, которые, хотя и адекватны в большинстве случаев, не работают в ситуациях, приводящих к финансовым кризисам и другим экстремальным, а значит, важным результатам. Растущая способность получать и обрабатывать очень большие объемы данных может послужить стимулом для применения фрактальной математики и силовых законов для обеспечения общего описания как нормальных, так и экстремальных результатов.