Примеры для самостоятельного анализа
1. Чему равно математическое ожидание совпадения карт по масти и по старшинству при одновременном перелистывании двух колод (две дамы пик, два туза треф и т. д.)?
2. Чему равно математическое ожидание совпадения карт по мастям при перелистывании двух колод по 32 карты в каждой?
Ответы: 1 (1), 2 (8).
Естественно, определение оптимальной тактики, обеспечивающей максимальный выигрыш при длительной игре в преферанс, базируется на более сложных соотношениях. Эту задачу можно разделить на два этапа. Сначала нужно определить вероятность повторения расклада как случайного события, а затем оценить различные возможные решения и оптимизировать математическое ожидание выигрыша. Большинство практических задач расчёта вероятностей определённого расклада, нужного прикупа и т. д. можно свести к следующей общей схеме.[104]
В генеральной совокупности, состоящей из n карт, имеются n1 красных и n-n1 чёрных карт. Из этой совокупности берётся выборка в r карт (без учёта порядка карт в выборке). Нужно найти вероятность qk того, что такая выборка содержит ровно k красных карт (k≤n1;k≤r). Таким образом, выборка должна содержать k красных и r-k чёрных карт. Красные карты (их всего n1) могут быть выбраны 
различными способами, чёрные карты — 
способами.
Здесь — 
так называемые биномиальные коэффициенты:[105] 
, где 
— число возможных перестановок из а элементов.
Отметим, что 
— выборка, содержащая все а красных карт, может быть создана единственным способом.
Любой способ выбора k красных карт может комбинироваться с любым способом выбора r-k чёрных карт. Вероятность qk, что такая выборка содержит ровно k красных карт, определяется следующей зависимостью: 
. (1)
Если выборка должна содержать только красные карты (r=k), то зависимость (1) упрощается: 
. (2)
Определённая таким образом система вероятностей qk называется гипергеометрическим распределением и кажется достаточно сложной. Однако приведённые ниже примеры покажут, что расчёты вероятностей реальных раскладов достаточно просты, а их результаты обычно могут быть сведены в таблицы.
Например, вы купили прикуп, сделали снос, на руках шесть старших карт в пике и AKQx в трефе (трефа не сносилась). Какова вероятность того, что у одного из партнёров на руках четвёртый валет треф?
n1=k=4; n=20; r=10
. (3)
Таким образом, четвёртая трефа встретится в 87 случаях из 1000 (вероятность расклада удваивается, поскольку вам всё равно, у кого из партнёров будет четвёртый валет треф).
Или, например, вы хотите объявить мизер. Для того чтобы он был чистым, нужно купить в прикупе одну из семи заказных карт. Какова вероятность, что вы купите нужную карту и сыграете «чистый» мизер?
. (4)
Второй член в (4) определяет вероятность покупки двух из семи заданных карт.
Система вероятностей qk легко обобщается на случай, когда исходная совокупность из n карт содержит более двух классов элементов.
Вероятность того, что выборка объёма r содержит k1 элементов первого класса, k2 элементов второго класса и r-k1-k2 элементов третьего класса, определяется аналогично (1):
. (5)
где n1 и n2 — количество элементов первого и второго класса в генеральной совокупности; n-n1-n2 — число элементов третьего класса. Элементами класса могут быть карты какой-то масти, определённый набор карт и так далее.
Точно так же можно определять вероятности для выборки, содержащей четыре класса элементов. Рассмотрим пример, в котором элементами каждого класса являются карты одной из четырёх мастей.
У вас на руках AKxx, Axx, Axx, а в сносе две фоски четвёртой масти. Первая масть — козырная. Какова вероятность того, что вы проиграете контракт на шесть взяток, если партнёры вистуют в светлую?
104
.