Вернемся к началу времени математики для понимания природы математического доказательства. Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 495 до н.э.) — полулегендарный персонаж. Почти все документы, касающиеся этого ученого, которые дошли до нас, были созданы через несколько веков после его смерти, и поскольку последователи разве что не обожествляли Пифагора, значительная часть сведений о нем — это коллекция мифов. Так же как легенда по имени Гомер положила начало западной литературе, легенда по имени Пифагор основала математику.
Одно известно точно: Пифагор не формулировал теорему, которая носит его имя. Египтяне и вавилоняне знали и применяли ее, но они пользовались ею как инструкцией. Они неоднократно проверили ее на практике и убедились в ее истинности. Говоря современным языком, египтяне и вавилоняне использовали математику эмпирически: если они систематически убеждались, что результат верен, они обобщали его и думали, что он верен всегда. Это известно как индуктивное рассуждение. Когда мы находим действующую инструкцию, мы применяем ее, даже если и не понимаем, почему она работает.
Однако то, что сделал Пифагор, было действительно революционно: он пришел к убеждению, что эмпирических инструкций недостаточно и что требуется строгое доказательство их правоты. Фалес Милетский (ок. 630-545 до н. э.), отец философии, уже занимался выведениями доказательств, но Пифагор превратил поиск математического доказательства в систематическую программу. Он сделал нечто удивительное: пришел к выводу, что инструкция может быть доказана для всех случаев дедуктивно, с помощью правил логики, чтобы стать вечной, безупречной истиной, которую невозможно оспорить. Эмпиризму он противопоставил разум. Так, доказательство, основанное на логических правилах и образованное рядом шагов, которые любой может рассмотреть и понять, лучше, чем миллион экспериментов.
Насколько известно, Пифагор был первым, кто подумал о том, что такие доказательства не только возможны, но и достижимы систематически.
Возьмем два квадрата одинаковой площади со стороной а + b и разделим их, как показано на рисунке. Очевидно, что площадь каждого из квадратов равна (а + b)2, но ее можно выразить и другим способом. В квадрате слева общая площадь равна сумме площадей двух квадратов со сторонами b и а и площадей четырех треугольников со сторонами а и b, то есть
1/2 · ab
для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата равна
A1 = a2 + b2 + 4(1/2 · ab)
Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и b:
A2 = c2 + 4(1/2 · ab).
Так как А1 и А2 равны, то
a2 + b2 + 4(1/2 · ab) = c2 + 4(1/2 · ab).
И, после сокращения уравнения:
а2+b2=с2.
Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри квадратов.
Поэтому он заслуживает титула отца математики. Все амбиции математической науки, одной из самых плодотворных в интеллектуальной истории человечества, выразил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своем "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("Мы должны знать. Мы будем знать!") во втором десятилетии XX века.
Пифагор или кто-то из его школы доказал теорему, носящую его имя, так что уже невозможно сомневаться в ее истинности. Данная теорема дает нам неизменное правило. В случае с прямоугольным треугольником это отношение всегда будет выполняться. Пифагор очень высоко поднял планку для последующих поколений: уже недостаточно было найти правило, проверить его на практике много раз и признать его истинным. Теперь в математике требовалось его доказывать. И хотя в некоторых случаях это чрезвычайно сложно, подход Пифагора оказался таким плодотворным, что математики, несмотря на все трудности, не готовы отказываться от него.
В течение нескольких веков греки следовали принципам Пифагора и стремились к строгому доказательству своих результатов. Но геометр, который жил при Птолемее I (367-283 до н. э.), военачальнике Александра Великого и царе Египта, пошел еще дальше. Речь идет о Евклиде (ок. 325-265 до н. э.), который не довольствовался тем, чтобы доказывать отдельные результаты, а амбициозно захотел собрать все математическое знание своего времени в одну систему.