Интеллектуальная гордость пифагорейцев перенесла тяжелейший удар: мир, по-видимому, не был основан на числе как основной сущности. Пифагорейцам не пришло в голову, что достаточно пересмотреть их ограниченное понятие числа, чтобы решить дилемму. Но это объяснимо; на заре математики для пифагорейцев было невозможно принять то, что им казалось невыразимым. В конце концов, они были вынуждены провести различие между величиной и числом, между длинами, измеряемыми в геометрии, и числами, выражаемыми арифметически. Так, обе дисциплины начали отдаляться друг от друга, и только работы ученых XVI и XVII веков Франсуа Виета, Ферма и Рене Декарта смогли воссоединить их.
Представим, что число √2 рационально. Тогда его можно выразить в виде отношения двух целых чисел: √2 =p/q. Мы можем предположить, что предыдущее отношение несократимо, то есть его нельзя упростить еще больше, или, что то же самое, р и q не имеют общих делителей. Итак, из предыдущего выражения следует, что 2 = p2/q2. Следовательно, p2 — четное. Но если целое число в квадрате четное, то и само число, p, тоже четное (поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный). Следовательно, мы можем записать p = 2k и 4k2 = 2q2, или 2k2 = q2. То есть q2 также четное, и q тоже. Но это противоречит гипотезе о том, что у p и q нет общих делителей! Следовательно, одна из наших гипотез ложная. Это не может быть гипотеза о том, что отношение несократимо; то есть ложно предположение о том, что √2 — рациональное число.
Эпоха Возрождения привела к настоящему пробуждению интеллектуальной математической деятельности. В течение же всего Средневековья сложно найти выдающиеся математические достижения в Европе; они встречались только в мусульманском мире. Но постепенное знакомство с греческими текстами, которые были сохранены арабами, в сочетании с оригинальным вкладом исламских ученых, вызвали у первых математиков XVI века беспрецедентную активность.
Никколо Фонтана (1499-1557), по прозвищу Тарталья, и Джироламо Кардано (1501-1576) были одними из самых знаменитых ренетов. Детство Тартальи нельзя назвать безоблачным: у него не было отца, он рос в нищете, а при завоевании Брешии французский солдат нанес ему рану, затронувшую челюсть и нёбо, из-за чего он не мог нормально разговаривать. Отсюда его прозвище, означающее "заика". Кардано, знаменитый врач, алгебраист и великий инженер, потерял сына, поскольку не смог заплатить компенсацию, которая требовалась, чтобы того не казнили. Случилось так, что итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526) нашел решение кубических уравнений, которое держал в секрете ото всех, кроме своих самых близких учеников. Один из них, А.М. Фиоре, вызвал Тарталью в 1535 году на математическое соревнование. Работая в усиленном темпе, Тарталья нашел собственное решение, более общее, чем у дель Ферро. Это позволило ему застать Фиоре врасплох, решить все задачи с кубическими уравнениями, которые тот ему предлагал, и, в свою очередь, выиграть у него, предложив ему задачи, которые Фиоре не смог решить. Кардано узнал об этом состязании и постарался расположить к себе Тарталью, который в итоге показал ему решение, потребовав хранить его в секрете. Но Кардано узнал также решение дель Ферро и, думая, что это освобождает его от необходимости хранить секрет, опубликовал результат Тартальи в "Великом искусстве", большом трактате по алгебре.
Никколо Фонтана Тарталья.
Джироламо Кардано.
Очень рано произошло разделение этой науки. С одной стороны были геометры, которые пытались понять и дополнить результаты греков. Следует иметь в виду, что хотя и сохранилось несколько книг, многие из них погибли при различных исторических обстоятельствах, произошедших между эпохой эллинизма и Возрождения — в период, охватывающий около 2000 лет. Среди этих событий примечательно разрушение (или несколько разрушений) Александрийской библиотеки. Итак, математики эпохи Возрождения, убежденные в том, что потеряли огромную массу знаний, пытались заполнить бреши, которые история проделала в трудах Евклида, Архимеда, Диофанта, Птолемея и Аполлония. Они исповедовали греческий метод: строгие и красивые геометрические доказательства.
Однако в то же время другие математики, называемые ренетами, занимались решением более или менее практических задач. Их нанимали торговцы, хотя часто они также участвовали в состязаниях, на которых задавали друг другу задачи, требующие решения. Эти математики были первыми алгебраистами и исповедовали прагматический подход: строгость, совершенство и красота доказательства интересовали их меньше, чем эффективность их методов. В какой-то степени они были наследниками египтян и вавилонян. С одной стороны, благодаря деятельности ренетов уменьшилась значимость идеи доказательства, а с другой стороны, они культивировали традицию засекречивания знаний, в отличие от греков-постпифагорейцев, публиковавших свои результаты подобно тому, как это делается сегодня.