19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то
ab − сbс − aсa − b = 1.
19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то
где x > 0, x ≠ 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.
19.5. Найдите сумму
S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,
где последнее слагаемое содержит n цифр.
19.6. Докажите, что 
где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.
19.7. При каких значениях x и у последовательность а1, а2, а3, где
является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?
19.8. Пусть х1 и х2 — корни уравнения x² − 3х + А = 0, а х3 и х4 — корни уравнения x² − 12х + В = 0. Известно, что последовательность х1, х2, х3, x4 является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.
19.9. Решите уравнение
х³ − 7х² + 14х + а = 0,
зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.
19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен √2.
19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
19.12. Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.
19.13. Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?
19.14. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?
19.15. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.
19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a1, b1, a2, b2, ..., аn, bn, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что
и найдите предел этой последовательности.
19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению
cos [(8а − 3)x] = cos [(14а + 5)x]
и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
Глава 20
Суммирование
При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n ≥ p (где p — целое) справедливо...»