Наряду с соединениями, в которые каждый из n различных элементов некоторого фиксированного множества входит один раз, можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие появление одного и того же элемента более одного раза.
Если задан алфавит из n различных букв и поставлена задача составить всевозможные слова по k букв в каждом, то речь идет о размещениях с повторениями. Обратите внимание на то обстоятельство, что слова могут быть любой длины, а потому нет необходимости в выполнении ограничения k ≤ n. Слова aba и baa считаются различными (входящие в них элементы образуют разные последовательности).
Число 
всевозможных различных размещений с повторениями из n различных элементов по k элементов в каждом находится по формуле
Доказывается эта формула с помощью рекуррентного соотношения
которое устанавливается следующим рассуждением. Если первая буква в слове из k букв фиксирована, то в оставшиеся k − 1 ячеек можно разметить буквы 
способами. Для каждого из этих способов остается n возможностей для выбора буквы, стоящей на первом месте. В результате мы получим все размещения с повторениями из n по k.
Размещения с повторениями, образованные из n элементов a1, a2, ..., аn так, что каждый из этих элементов входит в размещение по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями. Если известно, что элемент a1 входит α1 раз, элемент a2 входит α2 раз, ..., элемент an входит αn раз, то число всевозможных таких перестановок обозначают 
и оно может быть найдено по формуле
Два сочетания с повторениями из n элементов по k в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле
вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k − 1.
Для любого натурального n справедливы разложения
Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:
21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).
21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а1, а2, а3, а4, а5. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а1, а на втором — элемент, отличный от а2.
21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?
21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?
21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?
21.6. Вычислите сумму
21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)n являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения
(а + b + с + d)n.
21.9. Найдите коэффициент при хk в разложении
(1 + x + x² + ... + хn − 1)².
21.10. Для бинома (1/5x + 2/5)n найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.