π/4 = arctg (1/2) + arctg (1/5) + arctg (1/8).
и в 1844 году Дазе вычислил с ее помощью 200 знаков π. Невероятно, но на это ему потребовалось лишь два месяца, и все расчеты он производил в уме. Он был настоящим человеком-компьютером и обладал невероятной способностью к вычислениям. Сам Гаусс, известнейший математик своего времени, советовал властям использовать Дазе для расчетов. Была учреждена премия, вручаемая тому, кто получит список делителей чисел N таких, что 7 000 000 < N < 10 000 000. Дазе начал работать над этой задачей, но смерть помешала ему найти решение. Дазе страдал синдромом саванта: он был поразительно одарен в математике, имел невероятную память, но в остальном был весьма и весьма средних способностей. Например, он мог перемножить два восьмизначных числа меньше чем за минуту. Для перемножения 100-значных чисел ему требовалось около девяти часов. Он обладал почти фотографической памятью, что позволяло ему с удивительной точностью пересчитывать любые предметы, будь то овцы, буквы или костяшки домино. Писатель и ученый Артур Кларк в письме к палеонтологу Стивену Джею Гулду задавался вопросом, какую пользу для эволюции биологического вида может иметь способность вычислить в уме 200 знаков числа π. Ответ на этот вопрос нам неизвестен.
В 1847 году датский астроном и математик-самоучка Томас Клаусен (1801–1885), используя две формулы Мэчина:
(1/4)∙π = 2∙arctg (1/3) + arctg (1/7),
(1/4)∙π = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/239).
точно вычислил 248 знаков Я. Он также ошибся в вычислениях, но допустил ошибку в самом конце расчетов, всего вычислив 250 знаков.
В 1853 году его немецкий коллега Якоб Гейнрих Вильхельм Леманн (1800–1863) рассчитал 261 знак Я, что принесло ему известность в математике. Его именем также назван кратер на Луне. В следующем году немецкий профессор Рихтер вычислил 330, затем 400 и, наконец, 500 знаков.
Английский математик-любитель Уильям Шэнкс (1812–1882) посвятил свою жизнь вычислениям. Наряду с расчетами других констант в 1875 году он получил 707 знаков π, что увековечено на знаменитом фризе Дворца открытий в Париже. Но это стоило музею немалых затрат: фриз был построен в 1937 году, а в 1946 году Дэниел Фергюсон в статье в журнале Nature показал, что верными являются лишь первые 527 знаков. Огастеса де Моргана (1806–1871) крайне удивил тот факт, что цифра 7 встречается в записи числа π заметно чаще остальных.
Подобно многим ученым, занимавшимся объемными расчетами, Шэнкс допускал ошибки. Он не располагал правильным ответом, с которым можно было бы свериться, поэтому считал свои вычисления верными. Не стоит забывать, что в те времена не было ни компьютеров, ни калькуляторов, все расчеты выполнялись на листах бумаги, испещренных бесчисленными цифрами. Теперь во Дворце открытий можно посмотреть на исправленное значение π. Такова дань уважения объяснимой человеческой ошибке. В наши дни было обнаружено, где именно ошибся Шэнкс, который вычислял π поэтапно.
Не стоит умалчивать о достижении Фергюсона — последнего, о котором мы расскажем, прежде чем перейдем к повествованию о компьютерной эре. В 1947 году он опубликовал 808 знаков π. Для расчетов ему понадобился целый год, арифмометр, много терпения и следующая формула:
π/4 = 3∙arctg (1/4) + arctg (1/20) + arctg (1/1985)
В 1882 году немецкий математик фон Линдеман изрядно охладил пыл тех, кто занимался расчетами числа π, доказав, что оно не является алгебраическим, поэтому не может быть найдено построением с помощью циркуля и линейки. Линдеман доказал трансцендентность числа π. Следует отметить, что в его объемном доказательстве ни разу не использовались геометрические методы. Таким образом, число π покинуло мир геометрии, и это произошло точно в тот день, когда была доказана его трансцендентность.
Оригинальное доказательство Линдемана основано на тех же примерах, которые за несколько лет до того использовал Шарль Эрмит (1822–1901) для доказательства трансцендентности числа е — еще одной известной константы. Линдеман пришел к выводу, что линейная комбинация степеней е с коэффициентами Ak и показателями степени Bk (вещественными или комплексными)
А1ев1 + А2ев2 + … + Аnевn
не может быть равной нулю (за исключением случая, когда все коэффициенты нулевые). Так как знаменитая формула Эйлера может быть записана в следующем виде:
eπi + 1 = eπi + e0 = 0,