она удовлетворяет условиям Линдемана (А1 = A2 = 1, B1 = πi, В2 = 0), поэтому πi не может являться алгебраическим числом, равно как и само π. Число π не является алгебраическим, следовательно, оно трансцендентно. Так как оно трансцендентно, его нельзя получить построением с помощью циркуля и линейки. Конечно, за этим последовали новые, менее сложные доказательства, но и приведенных выкладок было достаточно, чтобы снять завесу тайны с числа π. До Линдемана было известно, что трансцендентность числа π означает, что задача о квадратуре круга нерешаема. Доказательство Линдемана положило конец поискам решения этой легендарной задачи. Было окончательно установлено: задача о квадратуре круга не имеет решения.
Глава 2
Бесконечная незначительность и трансцендентность числа π
Лицо π было скрыто маской. Все понимали, что сорвать ее, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза.
Бертран Рассел
Мы подробно, знак за знаком, проследили путь числа π в поисках трансцендентности. Линдеман завершил поиски и расставил все по местам. Теперь мы знаем, что π трансцендентно, его нельзя построить с помощью циркуля и линейки, поэтому задача о квадратуре круга не имеет решения.
Чтобы лучше понять значимость и важность π в мире математики, совершим небольшую экскурсию в неспокойный мир бесконечности. Это отдельная вселенная, очень обширная и запутанная, полная вопросов, лежащих между философией и реальным миром. Этот мир настолько необычен, что некоторыми его аспектами занимается высшая математика, в которой действия с бесконечностью предельно упрощаются. Мы рассмотрим эту область лишь поверхностно, особенно не углубляясь. Тем не менее обзор бесконечности в математике нетривиален, требует определенных усилий, а иногда просто скучен и повергает в уныние.
Предупредив читателя, мы начинаем нашу экскурсию в мир бесконечности с почти что абсурдного вопроса: «Что такое число?» Чтобы ответить на него, начнем с рассмотрения самого представления о числах.
В основе практически всех основных понятий лежат множества — простые совокупности объектов, которые мы будем перечислять в фигурных скобках, разделяя запятыми. Например,
А = {а, Ь, с, d}
обозначает множество А, образованное символами а, Ь, с и d. Вместо букв могут использоваться животные, люди, музыкальные инструменты и так далее. Это не принципиально. Будем использовать наиболее простое определение, которое эксперты называют «наивным»: будем считать множество совокупностью объектов, называемых «элементами множества».
Множества могут соответствовать друг другу — так обычно говорят о множествах, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие. Например, множества
{а, Ь, с} и {Наполеон, 
, автор этой книги}
соответствуют друг другу, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие и при этом не останется лишних элементов. Напротив, множества
{а, Ь} и {Наполеон, , автор этой книги}
не могут соответствовать друг другу, поскольку в правом множестве всегда будет оставаться один элемент, которому не будет соответствовать никакой элемент левого множества. Из этого следует, что определение числа имеет отношение к множествам. Современное рекурсивное определение числа может выглядеть так:
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}
…
n = {0, 1, 2, 3, 4…. n — 1}
Говорят, что множество А имеет n элементов, если А соответствует n, иными словами, если между А и n имеется взаимно однозначное соответствие. Так, множество игроков футбольной команды на поле содержит 11 элементов, множество апостолов содержит 12 элементов. Согласно вышеприведенному перечню, множество 11 выглядит так:
11 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Нет никаких сомнений в том, что между этим множеством и любым множеством футболистов на поле можно установить взаимно однозначное соответствие.
Как же мы определим ноль? Когда говорят, что множество содержит 0 элементов? В «наивной» теории множеств множество является совокупностью объектов. Поэтому логично, что среди таких совокупностей встречаются пустые, которые не содержат ничего — как пустые коробки.