11/7 = 1,571428571428571428…,
где период, или множество повторяющихся цифр, всегда равен 571428. Иногда период имеет гигантские размеры, но это не означает, что десятичное число будет иметь бесконечное количество знаков — они будут повторяться бесконечное число раз.
В этот момент неизбежно возникает вопрос: если периодические дроби соответствуют рациональным числам, то как быть с непериодическими десятичными дробями? Все очень просто: они являются не рациональными, а иррациональными.
ДИАГОНАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассуждения Кантора, которые лежат в основе доказательства счетности множества десятичных дробей (то есть 
), останутся в истории как доказательство его гениальности. Они оригинальны, но в то же время понятны. Это доказательство приобрело такую известность, что получило собственное название: диагональный метод, метод диагонализации, или диагональное доказательство. Посмотрим, почему это доказательство называется «диагональным».
Мы выполним действия, которые в математике именуются «сведением к абсурду», когда некая гипотеза предполагается истинной, а затем показывается, что из нее вытекает абсурдное заключение. Это означает, что исходная гипотеза ложна. Предположим (ниже мы докажем ложность этого утверждения), что множество десятичных дробей (т. е. вещественных чисел) является счетным. Будем говорить о счетности не всего множества , а лишь десятичных дробей, лежащих на интервале (0; 1), то есть удовлетворяющих условию 0 < х < 1, - лишь малой части . Предположим, что десятичные дроби пронумерованы и перечислены друг под другом, не обязательно по порядку, так, как показано ниже:
В этом списке должны фигурировать все десятичные дроби, заключенные в промежутке между 0 и 1, так, чтобы нельзя было записать никакую десятичную дробь л, которая бы не содержалась в этом списке. Кантор, основываясь на этом утверждении, создал новую десятичную дробь D
D = 0, d1 d2 d3 d4 d5… dn…,
которой не было в списке. Для каждого n он определил dn, отличное от того, которое находится в строке n и столбце n.
d отличается от десятичной дроби, которая соответствует числу 1? Да, поскольку d отличается от этой дроби в первом знаке после запятой.
d отличается от десятичной дроби, которая соответствует следующему числу в списке? Да, поскольку d отличается от второй дроби во втором знаке после запятой.
d отличается от десятичной дроби, которая соответствует третьему числу в списке? Да, поскольку d отличается от третьей дроби во третьем знаке после запятой.
Это же верно и для четвертой, пятой и n-й дробей:
dn не равно rn
D отличается от всех десятичных дробей в списке, следовательно, оно не содержится в этом списке. Но разве мы не говорили, что в этом списке содержатся все десятичные дроби? Имеется противоречие с исходным утверждением, которое гласит, что все десятичные дроби пронумерованы и перечислены в списке. В действительности это не так. Это доказывает, что множество всех десятичных дробей не является счетным.
|| > |
|
* * *
Существует множество иррациональных чисел, начиная с √2 и всевозможных комбинаций корней, например 
, и заканчивая универсальными константами, например π. Будет логичным спросить: «Сколько всего иррациональных чисел?»
Обозначим множество всех десятичных дробей , иными словами, объединение рациональных и иррациональных чисел:
Мы знаем, что первое из этих множеств 
= {рациональные числа} счетно. Кантор доказал, что множество не является счетным. Следовательно, множество в правой части равенства также не может быть счетным. В противном случае было бы образовано двумя счетными множествами, следовательно, оно также должно было быть счетным.
Наконец-то мы нашли нечто неисчислимое — множество , элементы которого нельзя сосчитать. Следовательно, это бесконечное множество, бесспорно, больше всех бесконечных множеств, о которых мы говорили до этого.