Благодаря так называемой аналитической геометрии, изобретенной Рене Декартом в XVII веке, любое геометрическое построение можно описать уравнением второй степени. Сложное построение может описываться цепочкой уравнений второй степени, вложенных друг в друга.
Но сколь бы велика ни была эта цепочка, результатом всегда будет число, которое можно построить. Это число будет являться решением уравнения второй степени с коэффициентами, которые также можно построить, и, следовательно, будет являться алгебраическим. Используя геометрические построения, мы никогда не сможем выйти за пределы множества алгебраических чисел. Любое число, которое можно построить, является алгебраическим.
Мы не будем приводить подробное доказательство этого утверждения, поскольку для этого потребуется использовать методы из теории Галуа, относящиеся к высшей математике. Вышесказанное можно представить в виде следующей диаграммы:
В царстве чисел все числа вплоть до алгебраических принадлежат к счетной бесконечности. Но мы уже знаем, что множество 
не является счетным и намного больше этих множеств. без алгебраических чисел, то есть «почти все» множество , также имеет трансфинитное, несчетное число элементов.
Математики называют неалгебраические числа (вспомним, что это все вещественные числа за исключением алгебраических, то есть множество за вычетом 
) трансцендентными числами, поскольку Эйлер писал, что эти числа «превосходят мощь алгебраических методов» (название «трансцендентные» происходит от латинского transcendere — «превосходить»). Следующее определение не содержит никаких философских подсмыслов, но является точным и однозначным: трансцендентным называется число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Все трансцендентные числа являются иррациональными, множество трансцендентных чисел не является счетным. Его кардинальное число больше, чем 
.
Какое отношение все это имеет к числу π? π является не только иррациональным, но и трансцендентным, что доказал Линдеман в 1882 году. Так как π является трансцендентным, оно не является алгебраическим и его нельзя построить с помощью циркуля и линейки за конечное число действий. Таким образом, поиски классического решения задачи о квадратуре круга оказались завершены. Однако и в наши дни некоторые известные математики все еще получают «решения» задачи о квадратуре круга. Но тем, кто якобы решил нерешаемую задачу, уже готовы ответы.
Так, один известный математик передавал полученные решения задачи о квадратуре круга наиболее одаренным ученикам. Когда ошибка была найдена (иначе и быть не могло), автору возвращался заполненный формуляр: «Любезный друг! Благодарим за предоставленное решение задачи о квадратуре круга. Возвращаем ваше доказательство и указываем на первую обнаруженную нами ошибку. Она находится на странице… в строке… Искренне ваш, и проч.». Столь остроумным способом этот математик отвечал упрямцам, не желавшим признать очевидное.
Итак, число π принадлежит к трансцендентным числам, составляющим большую часть царства чисел. На первый взгляд, в нем нет ничего необычного — это всего лишь заурядное трансцендентное число. Оно столь обыденно и незначительно, что никто до сих пор не нашел среди его знаков никакой закономерности.
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ СВЯЗИ π
Число е является основанием натурального логарифма. Его значение равно 2,71828… После числа π это самая известная и наиболее часто встречающаяся математическая постоянная. Несомненно,
π + е = 5,859874482…,
но неизвестно, является ли это число трансцендентным. Удивительно, но известно, что одно из чисел π + е или π∙е является трансцендентным, но неизвестно, какое именно. Также неизвестно, является ли трансцендентным ππ.
Напротив, еx является трансцендентным, что было доказано благодаря теореме Александра Гельфонда (1906–1968) и Теодора Шнайдера (1911–1988). Однако это нельзя доказать для πe. В действительности неизвестно, является ли это число рациональным или иррациональным. Трансцендентными также являются еn√n (при n не равно 0), π + In 2 и π + In 2 + √ln3. Неизвестно, являются ли иррациональными π + е или π/е. J них известно, что если они являются алгебраическими, то многочлены, корнями которых они являются, имеют восьмую степень или выше и коэффициенты порядка 109. Этого недостаточно для строгого математического доказательства, но на бытовом уровне выглядит убедительно.