(Хорхе Луис Борхес, «Всемирная библиотека»)
Все, о чем мы только что рассказали, достаточно интересно и при этом не так далеко от числа π и его бесконечных знаков, как может показаться. Если вместо обычных пишущих машинок в нашем мысленном эксперименте дать обезьянам цифровые клавиатуры, то мы получим более или менее произвольные последовательности цифр. Один очень длинный ряд цифр. А что такое π, как не длинный ряд цифр?
В библиотеке, описанной Борхесом, могут храниться книги, где вместо литературных шедевров (большая часть из которых представляет собой лишь бессмысленную последовательность знаков) будут напечатаны последовательности цифр, имеющие начало и конец.
Но существует принципиальная разница между нашим мысленным экспериментом с печатными машинками, библиотекой Борхеса и последовательностью цифр числа π. Различие в том, что в первом случае речь идет о книгах или текстах конечной длины, а число знаков π бесконечно.
Ни одна обезьяна в нашем эксперименте не сможет напечатать π и ни одна библиотека, сколь велика бы она ни была, не сможет вместить число π и все его знаки. Мы мельком взглянули на бесконечность, но бесконечность, заключенная в числе π, смотрит на нас — невозмутимая, недоступная.
Является ли π нормальным числом? Парадоксально, но этим вопросом, на который пока нет ответа, задаются многие математики. Говорят, что иррациональное число является нормальным в десятичной системе счисления, если в его десятичной записи цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 встречаются с одинаковой частотой. Это же справедливо для последовательностей из двух цифр от 00 до 99, из трех цифр от ООО до 999 и так далее.
Если число является нормальным во всех системах счисления, говорят, что оно является абсолютно нормальным.
Когда японский специалист Канада вычислил триллион знаков π, он подсчитал, сколько раз встретилась каждая цифра:
Десятичная цифра ∙ Частота среди первого триллиона знаков π
0 ∙ 99 999 485 134
1 ∙ 99 999 945 664
2 ∙ 100 000 480 057
3 ∙ 99 999 787 805
4 ∙ 100 000 357 857
5 ∙ 99 999 671 008
6 ∙ 99 999 807 503
7 ∙ 99 999 818 723
8 ∙ 100 000 791469
9 ∙ 99 999 854 780
Итого
1000 000 000 000
Распределение цифр, продемонстрированное Канадой, показывает, что π не является нормальным, хотя анализ первого триллиона знаков может показаться недостаточным.
Одно дело — предполагать, другое — доказать. Нормальность числа π, несмотря на все предположения, доказать пока не удалось.
Фактически не доказана нормальность ни одного из этих чисел: π, е, √2, log2, ни даже числа, описывающего золотое сечение (Ф).
Ниже мы приведем примеры чисел, о которых достоверно известно, что они являются нормальными, но эти числа были специально созданы человеческим гением. В 1917 году польский математик Вацлав Серпинский (1882–1969) нашел первое нормальное число.
Так называемая константа Хайтина
Ω = 0,00787499699…
является вероятностью того, что случайно выбранная программа на машине Тьюринга остановится. Ее определение достаточно сложно. Чтобы понять его, необходимо знать, как работают сумматоры, как обрабатываются биты программы, каков принцип действия машины Тьюринга и многое другое. Ω является нормальным числом, пусть даже его определение заставляет предполагать обратное.
Нормальные числа встречаются не так уж редко: их количество бесконечно. Число элементов множества нормальных чисел соизмеримо с количеством вещественных чисел. Почти все числа являются нормальными, но их очень сложно обнаружить математически. Предполагается, что любое алгебраическое иррациональное число является нормальным.