Заметим, что он состоит из треугольников с основаниями Ь и высотой h. Общая площадь n треугольников, примерно равная площади круга, равна
Sn = п площадь треугольника.
Таким образом,
Перейдя к пределу и увеличивая число треугольников так, что n —> 
, получим
так как
и придем к следующему заключению:
Архимеду было неизвестно современное определение предела, и он использовал так называемый метод исчерпывания, созданный Евдоксом Книдским (400–347 до н. э.). Для этого Архимед использовал вписанные и описанные многоугольники, как показано на рисунке. Окружность заключалась между вписанным и описанным многоугольниками, соответственно, была ограничена и площадь окружности. С ростом числа углов многоугольников оценка площади окружности становилась все точнее.
Схема, на которой изображен так называемый переход к пределу, поможет понять, почему площадь круга равняется πr2:
Мы видим, как формируется криволинейный параллелограмм и его стороны постепенно распрямляются. Вспомним, что площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Высота постепенно приближается к значению радиуса r, а основание — к половине длины окружности. Площадь параллелограмма стремится к
r∙(l/2) = r∙(2πr/2) = rπr = πr2
Архимед вычислил верхнюю и нижнюю оценку значения π:
223/π = 3,140845… < π < 22/7 = 3,142857…
с отменной точностью.
АРХИМЕД ИЗ СИРАКУЗ (ОК. 287 — ОК. 212 ГГ. ДО Н.Э.)
Греческий инженер, физик, астроном и математик Архимед считается важнейшим ученым античности и одним из величайших умов человечества. В области математики фигурами сопоставимой величины можно назвать лишь Ньютона, Гаусса и фон Неймана. Его вклад в науку неоценим. Он создал червячную передачу, параболические зеркала, многочисленные системы блоков (полиспасты) и многие другие механизмы. Наверное, самым значимым стал открытый им закон гидростатики, известный нам как закон Архимеда. Образ Архимеда, который выскакивает из ванной и кричит «Эврика!» («Нашел!»), стал классическим образом первооткрывателя. Его открытия в математике бессчетны: помимо вычисления числа к он определил периметр, площадь, объем и центр тяжести для множества геометрических фигур и тел (в частности, для сферы, цилиндра, параболы, спирали и пр.), изучал диофантовы уравнения, построил счисление, позволяющее записывать и называть весьма большие числа, и так далее.
Он умер во время осады Сиракуз, при обороне которых использовались придуманные им механизмы. Согласно Плутарху, Архимед рассматривал чертеж на песке, когда к нему подошел римский солдат. Архимед настойчиво просил его подождать, сказав: «Не трогай мои чертежи», после чего разгневанный солдат зарубил Архимеда мечом. Плутарх пишет, что смерть Архимеда возмутила римского генерала, который считал ученого очень ценной добычей.
На могиле великого геометра изображен шар, вписанный в цилиндр. Соотношение между объемами цилиндра и вписанного шара открыл именно Архимед.
Одно из многочисленных изобретений, приписываемых Архимеду, — система бронзовых зеркал. С помощью этих зеркал защитники Сиракуз поджигали римские корабли, фокусируя на них солнечные лучи.
* * *
Метод, использованный Архимедом, стал фактически обязательным к применению в последующие несколько веков. Он доступен, прост и понятен. Математический гений Архимеда создал настоящее чудо. По существу, Архимед придумал алгоритм расчета π с любой точностью. Чтобы использовать этот алгоритм, нужен только калькулятор или компьютер и одна рекуррентная формула. Если n — число сторон вписанного или описанного многоугольника, а аn и Ьn — периметры таких многоугольников, то
a2n = 2anbn/(an + bn),
b2n = √(a2nbn).
В этом и заключается суть алгоритма Архимеда — рекуррентной формулы, с помощью которой рассчитывается приближенное значение π, точность которого повышается по мере роста п. Всегда выполняется соотношение аn > π > Ьn.