Законы природы вообще очень часто выражаются в форме дифференциальных уравнений, «лишь дифференциальное исчисление, — подчеркивал еще Энгельс, — дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Образно говоря — дифференциальные уравнения один из главных насосов, с помощью которых естествознание выкачивает из природы ее секреты.
Значение работ Петровского легче всего представить, сравнив учебники двадцатых годов с современными. Старые учебники математики в том, что касается дифференциальных уравнений с частными производными, фактически были сборниками отдельных задач. Задачники с ответами, не более. Было накоплено множество фактов, выработаны способы решения отдельных уравнений, описывающих определенные физические процессы. Не было общего подхода. Теории, которая объединила бы способы решения в стройную систему, единого ключа не существовало. Этот «ключ» был предложен Петровским в работах 1937–1939 годов.
Эти исследования опередили свое время. Потребовалось немало лет, пока их идеи «раскачали» мировую математику.
В момент появления работы не всегда просто определить ее роль в развитии науки. Но оглядываясь назад, можно увидеть, что многие открытия, когда-то воспринимавшиеся как сенсации, сейчас почти забыты — они оказались в стороне от главных путей. В то же время значение для науки других результатов проявляется все более отчетливо.
До сих пор и у нас, и за рубежом публикуются труды, в которых идеи Петровского рассматриваются с разных сторон, развиваются и углубляются. Много лет посвятили этому французский академик Лере, шведский академик Гординг, видные советские математики — ученики Петровского.
Общепризнанны работы Петровского и по другим разделам математики. Этих работ не так много, но «нет среди них, — говорит академик П. С. Александров, — случайных, или показных, или работ „между прочим”. Если уж Петровский берется за какую-либо задачу, то задача непременно трудная и важная. Каковы бы ни были трудности, он не остановится на полпути».
Профессор Ольга Арсеньевна Олейник, известный ныне ученый, одну из первых своих работ, еще аспиранткой, делала вместе с Петровским. Да, именно вместе, ибо и аспирантка и академик одинаково участвовали в общей работе. Думал над задачами каждый; раз в неделю встречались. «Иногда у Ивана Георгиевича лучше выходило, иногда у меня, — вспоминает профессор, — мы обсуждали ход работы, намечали дальнейшие планы… — И вдруг на лице профессора улыбка: — Конечно, я только этим и занималась, а у Ивана Георгиевича была масса других забот… Но при встречах казалось, что мы товарищи по совместной работе. Коллеги…»
Поколения студентов воспитываются на лекционных курсах Петровского; его учебники переведены на многие языки. Но он никогда не занимался мелкой опекой, а старался расширить кругозор учеников. Чтобы они почувствовали красоту математической мысли, не замыкаясь в узкую область. То, что он стремился привить им, называется математической культурой.
Петровский — противник математической зауми. И не менее яростный враг верхоглядства. Он ценит глубину, простоту, ясность. Таков он в своей научной работе, таков и в «побочных» привязанностях. Само общение с Петровским — своего рода семинар. Глубины, простоты, ясности.