В конце этого пути ракета разовьет скорость И, определяемую выражением
При этом длительность полета на активном участке траектории (пока работает двигатель) по часам земного наблюдателя будет равна
Оговорка насчет часов земного наблюдателя неслучайна. Дело в том, что для космонавтов, движущихся с околосветовой скоростью, темп течения времени замедляется. Поэтому время ускоренного полета или длительность активного участка траектории в системе отсчета, связанной с движущимся кораблем, будет меньше, чем для земного наблюдателя. Оно выражается формулой
Релятивистское сокращение времени к моменту остановки двигателя составит
Для проведения численных расчетов удобно выражать время в годах, а расстояние в световых годах. Если при этом ускорение а выражено в м/с2, то приведенные формулы принимают вид
Пользуясь этими формулами, читатель сможет самостоятельно проверить результаты приводимых ниже расчетов.
Чем дольше работает двигатель фотонного корабля, тем выше скорость, развиваемая им в конце активного участка траектории. Поэтому при заданной дальности полета минимальное время достигается тогда, когда корабль ускоряется до половины пути, а затем начинает тормозиться с тем же ускорением (замедлением), так что в конце пути его скорость равна нулю. На обратном пути все повторяется в том же порядке. Параметры такого полета приведены в таблице 1.15.1.
Последняя строка в этой таблице соответствует границам наблюдаемой Вселенной. Как видно, фотонный корабль может за время жизни одного поколения космонавтов (τ < 100 лет) достичь практически любой, самой удаленной области Вселенной и вернуться обратно. Но какой ценой это достигается!
Пример 1. Пусть дальность полета составляет 1000 св. лет. Примем следующую схему полета (рис. 1.15.2). Корабль ускоряется в течение времени t, затем двигатель выключается и дальнейшее движение корабля происходит по инерции со скоростью V, которая была достигнута в конце участка ускорения. Перед прибытием в пункт назначения включается тормозная установка, работающая с тем же ускорением (замедлением), которая гасит скорость корабля до нуля. Пусть ускорение на активном участке траектории а = 10 м/с2 (ускорение свободного падения на Земле). И пусть массовое число μ в конце участка ускорения равно 10. Тогда скорость после выключения двигателей будет составлять V = 0,98 с; путь, пройденный кораблем в ускоренном полете, X = 4 св. года; такой же путь будет пройден при замедлении. Следовательно, длина пути, который корабль пройдет в свободном полете, составит 1000 — 2 × 4 = 992 св. гола. Подсчитаем теперь время полета. По часам земного наблюдателя длительность ускоренного полета t = 5 лет, такова же длительность на участке торможения. Время свободного полета будет равно 992/0,98 = 1012 лет. Полное время полета туда составит 5 + 1012 + 5 = 1022 года, а время полета туда и обратно 2044 года. По часам космонавтов длительность ускоренного полета составит t = 2,2 года. При скорости 0,98 с релятивистское сокращение времени Δτ/Δt = 0,2. Следовательно, длительность свободного полета по часам космонавтов составит 0,2 × 1012 лет = 1202 года. Полное время полета туда будет равно 2,2 + 202 + 2,2 = 206,4 года, а полет туда и обратно займет 413 лет. То есть в этом случае не удается завершить полет за время жизни одного поколения звездоплавателей. Заметим, что если массовое число на участке ускорения равно μ, то и на участке торможения оно тоже равно μ. Значит, п о л н о е м а с с о в о е ч и с л о при полете туда будет равно μ2, а при полете туда и обратно μ4; в нашем примере μ4 = 104, таково отношение начальной массы корабля к конечной после выгорания всего топлива.
Рис. 1.15.2. Кинематическая схема полета космического корабля. Масштаб по осям не выдержан
Пусть теперь дальность полета R по-прежнему равна 1000 св. лет, и пусть корабль ускоряется до половины при, а затем тормозится до прибытия в точку назначения. Ускорение а = 10 м/с2. Длина при на участке ускорения X = R/2 = 500 св. лет. Следовательно, μ = 103, 1—V/c = 2 • 10-6 (!). Длительность ускоренного полета по часам земного наблюдателя 500 лет, полная длительность полета туда 1000 лет, а туда и обратно 2000 лет. По часам космонавтов время ускоренного полета 2,2 × 3 = 6,6 лет, время замедленного полета тоже 6,6 лет, полное время полета туда 13 лет, а туда и обратно 26 лет. Значит, полет можно завершить при жизни одного поколения космонавтов. При этом в конце путешествия отношение начальной массы к конечной будет составлять μ4 = 1012 (!)