Найдём частичную массу диска, его внутренней дисковой части некоторого радиуса Rx, то есть, радиальное распределение массы. Эта масса, очевидно, нарастающая, чем больше радиус Rx, тем больше масса. Используя дифференциал (4.1), массу можно найти интегрированием, указав радиус диска R0 в качестве верхнего предела интеграла по радиус-вектору
Замечаем, что подынтегральная функция не зависит от угла, что не удивительно, поскольку мы изначально установили угловую симметрию. Поэтому сразу же вычисляем интеграл по этой переменной
Рассмотрим три принципиальных случая, определяемых законом изменения плотности. Первый случай, который можно назвать кеплеровским, — вся масса диска находится в его центре, плотность диска — "пиковая" ρ(0)= ρ0. Численное интегрирование даёт такой вид функции массы
Рис. 4.1. При нахождении всей массы в центре диска массы M(r) всех частичных, вложенных дисков равны этой массе
В этом случае масса каждого частного диска одна и та же и равна массе, находящейся в его центре. Для наглядности и удобства вычислений интеграл в общем виде (4.2) для этого случая желательно изменить, а точнее, разделить на два интеграла. Масса такого диска сосредоточена в его центре и, очевидно, имеет некоторый минимальный объём, радиус r0. В остальных точках плотность равна нулю, поэтому
Масса не зависит от радиуса частичного диска и всегда равна M0. Результаты численного и аналитического интегрирования, как видим, совпали.
Второй принципиальный случай — плотность диска неизменна по всему его объёму, радиусу
Итог аналитического интегрирования означает, что при такой однородной плотности каждый промежуточный диск имеет массу, пропорциональную квадрату его радиуса. Численное интегрирование также показало на диаграмме параболу, то есть, графический результат совпал с аналитическим
Рис. 4.2. В однородном диске массы всех частичных, вложенных дисков растут пропорционально квадратам их радиусов
Третий случай относится к функции плотности, приводящей к распределению массы, похожей на гиперболическое распределение масс в дисковых галактиках. Рассмотрим вариант гиперболического уменьшения плотности, установив, что в нулевой точке, в центре галактики плотность равна ρ0
Отметим, что логарифмическая добавка к радиусу заметно меньше самого радиуса, поэтому график выглядит практически как прямая линия. Например, при r = 1000 добавка составляет чуть меньше 7. Фактически масса промежуточных, частных дисков такой галактики растёт пропорционально их радиусу, а его логарифм не вносит практически никаких корректив
Рис. 4.3. В диске с гиперболически уменьшающейся от центра к периферии плотностью, массы всех частичных, вложенных дисков растут прямо пропорционально их радиусам
Эти три принципиальных, наглядных варианта рассматривают простейшие аналитические (не табличные) функции плотности. Рассмотрим теперь массу диска с табличной формой функции плотности, подобранной ранее под кривую вращения галактики Млечный Путь.
Рис. 4.4. Распределение массы диска с функцией плотности ρ(r), подобранной под наблюдаемую кривую вращения vmw(r) галактики Млечный путь
График показывает величину массы частичного диска, заключенной в круге соответствующего радиуса. Полная масса диска на рисунке равна 10. Отметим её некоторые особенности. Вблизи центра диска, области, имеющей предельную плотность, сосредоточена всего лишь десятая часть его полной массы. Действительно, плотность в пике этой части равна 50, то есть, почти в 100 раз превышает плотность на половине радиуса диска, равную 0,5. Масса половины диска по радиусу составляет всего 65 % от общей массы. Напротив, половина массы диска сосредоточена в пределах радиуса 40 %.