ai = n – i, bi = n + i, (2.3)
где i = 1,2,3, …….n.
Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть
ai + bi = 2n и bi – ai= 2i, (2.4)
где i = 1,2,3, …….n.
Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. δ=i.
Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать
A = nchA U chA;
B = nchB U chB, (2.5)
где nchA и chA – подмножества нечетных и четных чисел множества A;
nchB и chB – подмножества нечетных и четных чисел множества B.
Для указанного выше примера, имеем
nchA= {1, 3, 5, 7, 9} и chA= {0, 2, 4, 6, 8}.
nchB= {11, 13, 15, 17, 19} и chB= {12, 14, 16, 18, 20}.
Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nchA| и |chA| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nchB| и |chB|, мощности которых также равны между собой.
Легко видеть, что мощности четных подмножеств |chA| и |chB| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nchA| и |nchB| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.
Таким образом, можно записать следующие тождества:
|chA| = |chB|;
|nchA| = |nchB|;
|chA| = |nchA|;
|chB| = |nchB|; (2.6)
|chA| = |nchB|;
|chB| = |nchA|;
|nchA| = |chB|;
|nchB| = |chA|.
Отметим и то, что симметричная пара может состоять либо только из нечетных чисел, либо только из четных чисел, но ни как по-другому, т.е. пара (ai,bi) не может иметь одновременно разную чётность. Этот очевидный факт является очень важным и в дальнейшем будет использован. Чтобы увидеть правильность сказанного, следует внимательно посмотреть на выражения (2.4), так как в правых их частях стоят четные числа, и, следовательно, суммы левых частей должны быть также четными, что возможно только тогда, когда два слагаемых в левых частях будут одновременно нечетными или четными.
Докажем следующую небольшую лемму.
Лемма 2. Любое четное число может быть однозначно отнесено к натуральному числу вдвое меньшему данного четного числа.
Доказательство. Действительно, так как четное число n выражается формулой ch=2n, то разделив его на двойку, получим утверждаемое натуральное число, что и доказывает высказанное утверждение.
Рассмотренные выше соображения позволяют сформулировать следующее важное утверждение или теорему.
Теорема 1. Любое число n представимо суммой чисел любой симметричной пары, отнесенной к числу 2n, вдвое меньшему данному числу, т.е. равной удвоенному значению числа n, находящемуся на середине отрезка числовой оси [0;2n].
Доказательство. Действительно, согласно выражению (2.3) на числовой оси [0;2n] можно составить n симметричных пар (ai,bi) таких, что ai + bi = 2n. Таким образом, утверждение теоремы 1 доказано.