Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Из сформулированной выше теоремы следует две леммы, доказательства которых очевидны.

Лемма 3. Любое четное число 2n представимо суммой симметричных пар четных или нечетных чисел, количество которых равно n.

Доказательство указанного утверждения фактически приведено выше.

Из рассмотренного выше исследования симметричных пар чисел нас интересует класс нечетных симметричных пар чисел, среди которых класс симметричных простых чисел.

3. Симметричные пары простых чисел

Рассмотрим в первую очередь интересный класс симметричных пар чисел из множества нечетных чисел.

В предыдущем разделе было показано, что числа симметричной пары всегда имеют одинаковую четность, т.е. состоят либо из двух нечетных чисел, либо из двух четных чисел.

Исследуем подмножества симметричных пар нечетных чисел, сумма которых, конечно, является четным числом.

Как было показано в предыдущем разделе, оба подмножества нечетных чисел nch_A множества A и nch_B множества B имеют однозначное соответствие и, следовательно, имеют одинаковые мощности или то же самое равное количество элементов.

Выделим в каждом из них еще по два подмножества, а именно:

Подмножество составных нечетных чисел S и подмножество простых чисел P, которые запишем следующими выражениями

nch_A = S_A U P_A;

nch_B = S_B U P_B, (3.1)

где S_A, S_B – подмножества составных нечетных чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно;

P_A, P_B – подмножества простых чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно.

Так в примере, приведенном выше

S_A= {9}, а P_A= {1, 3, 5, 7}

S_B = {15} и P_B = {11, 13, 17, 19}.

Исследуем вопрос, как будут соотноситься элементы указанных подмножеств, при формировании симметричных пар конкретного числа n.

Анализ рис. 2 показывает, что при формировании симметричных пар числа n будут участвовать как составные нечетные, так и простые числа. Из (2.6) имеем, что мощность |nch_A| подмножества элементов нечетных чисел nch_A множества A будет равна мощности |nch_B| подмножества нечетных nch_B множества B, т.е. имеем

|nch_A| =|nch_B|. (3.2)

Тогда, исходя из того же выражения (2.6) можно записать

|nch_A| =|S_A| + |P_A| = |nch_B| =|S_B| + |P_B|. (3.3)

Отсюда следует важное следующее равенство

|S_A| + |P_A| = |S_B| + |P_B|. (3.4)

Следовательно, правомерно записать и такое соответствие

S_A U P_A<=>S_B U P_B. (3.5)

Это значит, что объединение подмножеств S_A и P_A однозначно соответствуют объединению подмножеств S_B и P_B.

Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).

____________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

a₁ n b₁

Рис. 2

Запишем подмножество nch_A. Оно будет

nch_A ={15;13;11;9;7;5;3;1}.

Далее, подмножество nch_B будет состоять из следующих элементов

nch_B ={17;19;21;23;25;27;29;31}.

Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nch_A| = |nch_B| =8.

Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.

Получим

S_A = {15;9}, P_A = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |S_A| =2, а |P_A| =6.

Аналогично

S_B = {21;25;27}, P_B = {17;19;23;29;31}, при чем, |S_B| =3, а |P_B| =5.