"Исторический подход" теории бифуркаций. Одним из основных инструментов современной нелинейной динамики является теория бифуркаций.
Чтобы придать конкретный смысл понятию "бифуркация", надо понять, чем "одно" отличается от "другого" (того, что возникло после). Для простых моделей эти отличия удается выделить, их анализ для многих сложных систем – нерешенная проблема [52]. В чем-то обсуждение этих проблем "нелинейщиками" напоминает дискуссии историков об укладах, формациях, классах, "европейском" и "азиатском" пути развития. Наверное, оно похоже на поединок Геракла с Антеем, в котором последний утратил силу и мощь, оторвавшись от надежной почвы.
Характерный пример, демонстрирующий пользу "вымышленных параметров", перехода от одного класса объектов к более широкому классу систем, связан с анализом сценариев перехода от порядка к хаосу. Одним из наиболее интересных и сложных сценариев, обнаруженных к настоящему времени, является разрушение инвариантных торов. Принципиальной моделью в этой теории является отображение
yn+1 = a yn(1-yn-1). (1)
Компьютерное исследование этой модели позволило обнаружить много странных свойств этого объекта. Эти свойства удалось понять и объяснить, только рассмотрев более широкое семейство –
xn+1=yn+bxn, yn+1=ayn(1-xn), (2)
и введя "вымышленный" параметр b. (Семейство отображений (2) переходит в семейство (1) при b=0.) Может быть, создание "виртуальных миров" окажется полезным и при анализе некоторых исторических проблем?
Большой интервал характерных масштабов. Имея дело с экологическими задачами, анализом межгосударственных отношений, проблемами стратегического планирования, специалисты по математическому моделированию столкнулись с тем, что существенные процессы занимают огромный интервал временных масштабов. Иерархия примерно такова:
– катастрофы, стихийные бедствия, религиозные конфликты, использование вооруженных сил – дни-недели;
– решения политического руководства – недели-месяцы;
– изменение стереотипов массового сознания под влиянием средств массовой информации – 1-3 года;
– экономические реформы – 3-5 лет;
– изменение уровня образования, качества подготовки специалистов – 5-10 лет;
– технологические и технические нововведения – 10-15 лет;
– изменение соотношения сил различных государств, эволюция межгосударственных отношений – 20-50 лет;
– этногенез, рождение и развитие новых идеологий, мировых религий и т. д. – сотни лет.
Ключевой задачей при моделировании сложных социально-эконо-ми-чес-ких систем становится выделение определенного интервала масштабов, на которых разворачиваются исследуемые процессы. При этом приходится прибегать к определенным допущениям относительно "медленных" и "быстрых" переменных.
Отсюда вытекает иерархия пространственных масштабов, масштабов взаимодействия различных социальных групп. Но это в точности те же проблемы, которые возникают при историческом анализе, и на которые обращает внимание А.Тойнби [8].
Что нового на чаше весов?Резюмируя предыдущее, скажем, что известные раньше явления систематизируются все лучше и лучше. Но и новые явления требуют себе места...Тут целый мир, о существовании которого никто и не догадывался.
А.ПуанкареИсследователи очень часто полны радужных надежд и склонны составлять наполеоновские планы. Однако обычно существует противоречие между благими научными намерениями и средствами, имеющимися для их реализации. Поэтому приходится взвешивать. Класть на одну чашу весов ожидаемые результаты и усилия, которые можно вложить, на другую – инструменты и подходы, которые существуют или могут быть развиты. Итак, что же нового на эту чашу весов сегодня может положить нелинейная динамика?
Вероятно, следовало бы обратить внимание на несколько результатов.
Алгоритмы выделения параметров порядка. Основой синергетики и нелинейной динамики является концепция параметров порядка [42]. Эта концепция за последние двадцать лет прошла большой путь от "символа веры", который разделяли в основном физики, до нового раздела математики – теории инерциальных многообразий [51]. В этой теории для большого класса систем, имеющих бесконечно много степеней свободы, доказано существование конечного набора параметров порядка, определяющих поведение изучаемых объектов на больших характерных временах. Оказалось, что за фасадом исключительно сложных, хаотических явлений действительно скрывается внутренняя простота.