Я уж не говорю, что подобное определение углов противоречит их другому научному пониманию у геометров. Именно, производя разделение, они утверждают, что из углов один является прямым, другой - тупым, третий острым, причем среди тупых углов одни являются более тупыми, чем другие, и то же самое среди острых углов. Но если мы скажем, что углом является наименьшее расстояние при наклонении [прямых], то подобное различие углов не сохранится, поскольку они и превосходят друг друга и друг другом превосходятся. Или же, если они сохраняются, то уничтожится сам угол, поскольку он [в данном случае] не обладает устойчивой мерой, при помощи которой его можно было бы распознать.
Итак, вот что нужно сказать против них по поводу прямой линии и угла. Когда же с целью определения круга они говорят [28]: "круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, когда проведенные до нее от центра прямые равны между собой", - то это пустой разговор, поскольку если устранены и точка, и линия, и прямая, и также плоскость и угол, то не может быть мыслим и круг.
164
[9. ОПЕРАЦИИ С ПРЯМОЙ]
Однако чтобы не показаться какими-то софистами и не тратить все содержание возражений на одни только геометрические принципы, давайте перейдем к дальнейшему и, как мы обещали раньше [29], рассмотрим теоремы, следующие у них за принципами.
Например, говоря о разделении данной линии на две части [30], они говорят о разделении или той линии, которая дана на доске, или той, которая мыслится на основании перехода от этой. Однако они не могут говорить о разделении линии, данной на доске, поскольку эта линия является имеющей чувственную длину и ширину, а та прямая линия, о которой говорят они, есть длина без ширины, так что, не будучи, по их мнению, линией на доске, она не может быть и разделена на две части как линия. Но не может быть разделена и линия, которая мыслится по переходу от этой [линии на доске]. Действительно, пусть, например, будет дана линия, состоящая из девяти точек, причем от каждого конца будет считаться четыре и четыре точки, а одна из них будет находиться между двумя четверками [точек] [31]. Если при этих условиях целая линия делится на две [равные] части, то делящее попадает либо между этой пятой точкой и другой четверкой точек, либо на самую эту пятую точку так, что разделит ее [пополам]. Однако было бы неразумным считать, что делящее проходит между упомянутой пятой точкой и одной из четверок [точек], поскольку результаты деления оказались бы неравными и один из [отрезков] состоял бы из четырех точек, а другой из пяти. Но было бы еще гораздо неразумнее этого думать, что сама точка делится пополам, потому что [тогда] у них уже не оставалось бы точки, лишенной всякого размера, раз она делится пополам делящим.
То же самое рассуждение [получается] и тогда, когда они говорят о делении круга на равные части [32]. Действительно, если круг делится на равные части, то, поскольку он обязательно содержит посередине себя центр, который как раз является точкой, этот центр должен быть приписан к одной из половин [круга] или должен будет сам делиться пополам. Однако отнесение центра круга к той или иной из его половин делает деление пополам неравным; а если и сам он делится пополам, то это противоречит тому, что точка лишена промежутков и частей.
165
Далее, делящее линию или есть тело, или оно бестелесно. Но оно не может быть ни телом, поскольку [тело] не могло бы разделить нечто лишенное частей и бестелесное, с чем невозможно столкнуться, ни бестелесным. Ведь если это бестелесное есть опять-таки точка, то оно не может производить деления, поскольку не имеет частей и делит опять-таки не имеющее частей; если же оно есть линия, то в свою очередь, раз оно должно делить своими собственными границами, а ее границы лишены частей, оно опять не производит никакого деления.
И иначе: та граница, которая производит деление, делит линию на две части, или попадая в середину между двумя точками, или оказываясь в середине самой точки. Однако невозможно, чтобы она оказывалась в середине точки, потому что, как мы сказали выше [33], [в данном случае] было бы необходимым, чтобы точка вообще оказывалась делимой и уже не лишенной размеров. Но еще неразумнее было бы думать, что она оказывается посередине двух точек. Во-первых, никакая граница не может падать в середине того, что непрерывно. Во-вторых, если даже допустить возможность этого, то она должна была бы раздвинуть то, посередине чего она поместилась бы, если оно действительно непрерывно. Однако оно не способно двигаться. Следовательно, и рассуждение относительно того, что производит деление, тоже ведет к апории.
Впрочем, пусть даже мы согласимся с ними в том, что отнятие производится от чувственных прямых. Все равно и в этом случае у них ничего не получится. Действительно, отнятие может происходить или от всей прямой, или от ее части; и то, что отнимается, будет отнимаемым или в качестве равного от равного, или в качестве неравного от неравного, или наоборот. Но, как мы установили в рассуждении против грамматиков [34] и против физиков [35], ничто из этого не может быть проведено беспрепятственно. Следовательно, для геометров невозможно что-нибудь отнимать от прямой или ее делить.
КНИГА IV
ПРОТИВ АРИФМЕТИКОВ
Так как из количества одно содержится в области непрерывных тел (оно, как известно, называется величиной, и им занимается главным образом геометрия), другое же содержится в области тел прерывных - это есть число, и относительно него возникает арифметика, - то, переходя от геометрических принципов и теорем к дальнейшему, мы подвергнем рассмотрению и то, что относится к числу. Ведь с устранением этого последнего не сможет возникнуть и относящаяся к нему наука.
[1. ПИФАГОРЕЙСКОЕ УЧЕНИЕ О ЕДИНИЦЕ]
Вообще ученые-пифагорейцы придают большое значение числу, поскольку в соответствии с этим последним строится природа целого. Поэтому они и восклицали всегда: "Числу же все подобно..." [1], - употребляя клятву не только числом, но и Пифагором (который объяснил его им) как богом вследствие заключающейся в арифметике силы. Они говорили:
Тем поклянемся, кто нашей душе передал четверицу,
Вечно текущей природы имущую корень неточный [2].
Четверицей у них называется число десять, которое з является суммой первых четырех чисел, потому что один да два, да три, да четыре есть десять. Это число является самым совершенным, потому что, приходя к нему, мы снова возвращаемся к единице и начинаем счет сначала. "Вечно текущей природы имущей корень неточный" они назвали ее потому, что, по их мнению, в ней залегает смысл совокупности всего, как, например, и тела, и души. В виде примера достаточно будет указать на последующее.
167
Монада, [единица], является некоторым принципом, образующим составление прочих чисел. Двоица же образует длину. В самом деле, как на геометрических принципах мы показали [3], что сначала существует некая точка, а затем, после нее, линия, которая есть длина без ширины, точно так же теперь единица обладает смыслом точки, двоица же - смыслом линии и длины: ведь ее мысленное построение включает движение от одного места к другому, а это и есть длина. Троица же соответствует ширине и поверхности, потому что здесь мысль движется от одной точки к другой, а затем еще раз так же - в другом направлении, и с присоединением измерения в ширину к измерению в длину возникает понятие поверхности. Но если мысленно прибавить к троице четвертую единицу, т.е. четвертую точку, то возникает пирамида, твердое тело и фигура, потому что она обладает длиной, шириной и глубиной. Поэтому в числе "четыре" обнимается смысл тела.
Но также и души, потому что, говорят они, подобно тому как гармонией управляется весь мир, точно так же одушевляется и живое существо.
Далее, как известно, совершенная гармония получает свое существование в трех созвучиях [4]: в кварте, квинте и октаве. Созвучие кварты выражается отношением четырех к трем, созвучие квинты - отношением полуторным и созвучие октавы - двойным. Числом "четыре трети" называется число, состоящее из некоего целого числа и его третьей части, в каковом отношении находится восемь к шести (потому что оно содержит само шесть и его третью часть, т.е. двойку). Полуторным [число] называется тогда, когда оно охватывает одно число и его половину, в каковом отношении находится девять к шести (потому что оно состоит из шести и из его половины, т.е. из трех). Наконец, двойным называется такое, которое равно двум числам, в каковом отношении четыре находится к двум (потому что оно одно и то же число заключает дважды).