Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

0,5уо(з^{Х и вв}едем функцию

«2 (z, t) = y₂ (z, 0 - У₂0 (^z> 0 •

(4.10)

Функция u₂ (x, t) описывает прогиб нижней струны относительно ее равновесного положения. Тогда равенство (4.9) можно записать

(4.11)

^К2^П - ^Ег I^{1 +} Р2 (^u2 - ) •

Здесь

е2~ -2 h	4 + 0>5у2рх	+
1	aPwEw
Я2_Щ	hx + 0,5у2оХ

(4.12)

■ 0,5у^^х

/

С учетом равенств (4.10), (4.11) уравнения (4.4), (4.7) принимаютвид

дтГ

и + JU

, ди

dt

⁺ Ps (²) 2

at

д²и

-^Ti ^ а?^{+ Ег} I^{1 +|М2}^1 *~^=/^^z’ ^

д ²и₂д²и₂ /

^p2~dF ~ ^Т2~д?^{+ Ег}I^{1 +} ^² di) ⁽“² “ ^{=/z (z}’ ^ *

Уравнения (4.13) представляют собой систему уравнений, описывающих движение линии с переменной площадью поперечного сечения корпуса относительно положения равновесия.

Полученные зависимости позволяют рассмотреть несколько практически важных частных случаев.

Случай 1. Если площадь сечения корпуса не меняется по длине балки, то /, p_s — константы и уравнения (4.13) принимают вид

+ Ps (z)

4 ^5

dz⁴

- T_x + E₂

¹ dz²²

¹ + 02^1 (« “ = /(z. 0>

P 2'

a²«₂

d<²

d²«₂ . „ .

2 —T + ¹ + /<2 л? (“2 " ^M) = h(z. 0

dz

Случай 2. Соответствует высокой жесткости заполнителя или ситуации, когда при максимальном прогибе нижняя струна касается жесткого корпуса.

Сложим уравнения (4.14) и перейдем к пределу при Е₂ <». Тогда из второго уравнения получим и₂ = м, и система (4.14) сведется к одному уравнению

(4.15)

описывающему движение СТЛ с постоянным сечением корпуса и двумя скрепленными с ним струнами.

Случай 3. Если жесткостью корпуса линии и его плотностью можно пренебречь, то из (4.15) получим уравнение

д²« . ,, _А —2+fiz, t), dz

где

р’-Р\+Ръ ^Т ~Т\+Т₂

Уравнение (4.16) описавает колебания гибкой СТЛ, струны которой связаны таким образом, что измеряемые по вертикали расстояния между ними неизменны в процессе движения.

4.1.2. Уравнения движения транспортного модуля по СТЛ

Движение транспортного модуля будем рассматривать по отношению к системе О zV (рис. 4.2), движущейся с постоянной скоростью v в направлении оси О z'. Расстояние между осями Oz и О z'равно высоте центра масс платформы модуля над базовой горизонтальной плоскостью.

Получим уравнения движения одиночного ТМ, въезжающего на СТЛ в момент времени t- 0. Будем считать, что колеса ТМ не теряют контакта с поверхностью линии. Тогда уравнениями движения ТМ будут уравнения плоскопараллельного движения его платформы, которые запишутся так;

(PU V

т_{ —Y = ~^F\ ~ ^F2 ^{+ m}i£> dt

momc' Fy

4* mom_c* F₂

(4.17)

Здесь U — О C — угол наклона оси платформы, I_c> — момент инер

ции платформы относительно центра масс С ; F_y> F₂ — силы реакции амортизаторов, действующие на платформу. Предполагаем, что центр масс находится в середине платформы. Силы F_y, F₂ можно выразить через динамические сжатия пружин:

Л = I ^C + ^va

dt

„ . d

^F^\_C + v_a-

и - О ,51_{<р- и (vt, t) а (0,

+ 0,5т!^,

i 1 ^0 ^l0 4" ^!

U - 0 ,5ly<p - u(vt-l_x t)a- , ^{u 0 1}

V V

В выражениях (4.18) учтено, что при движении платформы угол (р будет мал и введена функция времени

1, te [/„ t₂]

О, t<£ [t_v t•

o(t_v t₂) =

С учетом равенств (4.18) запишем уравнения (4.17) в виде

(4.19)

d²U„ dv ~ _тг . d'.

^mi~j?^+2vdi ^{+ 2cU= c + v}d?l

L (/j NqIq + /j

и (vt, 0 a (0, JV₀ + и( -l_y,t)a ,----

(4.20)

dr

I_c, + 0,5v (i + 0,5di <p = 0,5 fc + v •4;'| *

u(vt-l_v | — ,

h N₀l₀ + Iq

+ и (vt/j, Oo- (0, N₀~

Таким образом, полученная система уравнений описывает движение одиночного транспортного модуля по Л^-пролетной СТЛ.

Уравнения (4.20) движения одиночного модуля можно легко обобщить и получить уравнения движения модуля с номером i = 1, 2,... в потоке модулей. Предположим для простоты, что все модули одинаковы, механически не связаны между собой и следуют друг за другом на одном и том же расстоянии 1₂ с постоянной скоростью v. Тогда для функций Ui (t) и (p_t (t), определяяющих положение модуля, получим систему

d²U, dll-.

_m + 2v + 2CU: =

¹ dt^{2 dt 1}

= \C

+ ^v -Щ [« 0* - ^zl/> 0 °U + ^u - ^z2(> 0 ^a2,]