Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

где

Найдем значения этих выражений для значений параметров, характерных для системы “транспортный модуль—СТЛ”. Положим

/и, = 10³кг, т₂ << т,, /₀ = 50 м, Г, + + = Ю⁷ Н,

(4.31)

Ps ⁺ Pi⁼⁼ ЮО кг/м, v - 100 м/с.

Пусть w₀ = 0,1 м, что, как будет показано в дальнейшем, превышает максимальный прогиб в случае (4.31). Тогда получим значения выражений (4.30) (размерностиопущены):

2-10~⁵ с , 6-l(T⁴v, 2-10~²m₂, 2,5-10 ³ 8-10

(4.32)

Первые два выражения (4.32), очевидно, значительно меньше единицы для реальных значений с и v, остальные зависят от точнее от

'у

отношения т₂/т_{. При типичном значении т₂/< 10 все параметры (4.32) малы по сравнению с единицей. Параметры задачи взаимосвязаны: увеличение натяжений Т_х> Т₂, например, вызывает уменьшение величины w₀ и наоборот. Это приводит к тому, что величины (4.30) остаются малыми при любых реальных значениях всех параметров задачи, если выполняются условия

— < 10~², ЕС «I, *1

SV

<<1

(4.33)

Все сказанное относительно выражения в первой квадратной скобке функции (4.24) справедливо, очевидно, для части, выделенной второй парой квадратных скобок и для аналогичных выражений функции (4.26).

Будем считать, что выполняются соотношения (4.33). Тогда решение уравнений движения модулей и СТЛ можно искать в виде разложений по степеням малых параметров (4.33), перейдя предварительно к безразмерным величинам. Можно также, учитывая, что слагаемые в квадратных скобках функций (4.24), (4.26) превалируют над остальными, построить рекуррентные уравнения для определения последовательных приближений искомых функций. Обе эти процедуры эквивалентны и дают одинаковые по форме решения. Остановимся на втором способе решения и запишем уравнения для последовательных приближений искомых функций при движении потока ТМ. Воспользовавшись для этой цели уравнениями (4.13), (4.21) и функцией (4.26), получим

г/ ч д /(z)1?

(А+1)\

dt I

+ Ps (^z)

эУ*⁺¹>

dt²

¹

эУ*⁺¹⁾

- Т_х ° . +

dz²

о

=1

i=1

^(m1 + 2m₂)g + [c + Va~j {vf* - 0,51^ -иW (vt - z_u,

X (if* + 0 (vt - z_2i, o) - 2-^

⁺ /(^z> O'-

, ₄ aV*⁺¹) „ , ₄ aV*⁺¹⁾,

(4.34)

d²u^ (vt — 2j₍-, /)

dr

^d\Pii + 2 [(^mi + ^2m2> f ⁺ [^{c + v} a^j^x

= (^{C + V} Ttj ^u{k)(^Vt ~ ^ZU’ 0 ^aU + (^c + ^v -Jjj ^u(k)(^vt - ^z2i> 0 ^CT2i>

<*М*⁺¹⁾ ₂^⁺¹⁾ 2 rt₊n

^Ic'—h— + 0,5vl²~^r- + oMv?^+l) =

= 0,5/, fc + V u^(k)(vt - z_2i, t) o_2i - fc + v^j u^(A)(W - Z_U, t) a_u ,

* =0,1, 2,..., / = 175 , /4°> = ^⁰⁾ = «⁽⁰⁾ = 0 .

Отсюда для первого приближения искомых функций получим следующие дифференциальные уравнения

dz*

. д² ( I , I-7 I U -f LI

_дг²Г ^+И dt

л 1 л 1

д U т д U ,

⁺ Ps~T~

dt dz

n\ / v *о ^ (4.35)

+ ^E2(¹ + P2 qJJ(и - 4) = ^P2 С*⁵!/^aU + + h .

2 1 1

d Ф: 7 d<0: 7 , __

/_С' “X + 0_?5v/f -J- + 0,5с/^ - 0, i= 1, z₀. dt ^Ul

Здесь сила P = 0,5 (m_l 4- 2m₂) g.

Уравнения (4.35) описывают колебания СТЛ под действием движущихся безынерционных нагрузок (сил). При нулевых начальных условиях уравнения (4.36) имеют нулевое решение

^ (0 - °> ^^!)(0 = о.

Следовательно, в первом приближении точки платформ модулей совершают прямолинейное движение.

Рассмотрим структуру решения уравнений первого приближения для однопролетной СТЛ. Будем считать, что А^г₀ = 1, / = 0 и/₂ = 0. Это означает, что однопролетная СТЛ колеблется лишь под действием движущихся нагрузок величины Р. Рассмотрим решение уравнений (4.35) при нулевых начальных условиях и положим сначала г’₀ = 1. Тогда правая часть первого уравнения (4.35) примет вид

(4.37)

m

М

(Ill)

¹ d

^ ^{+ 2v} ~dt~ ⁺ 2cU\ = °,

(4.36)

д (z — vt) а ^0, + д (z ~ vt + /*) а ^ ^{1 0 1}

Легко видеть, что второе слагаемое выражения (4.37) получается из первого сдвигом по времени на величину 1_Х/v. Тогда в силу линейности уравнений (4.35) их решение можно представить в виде суммы двух составляющих

«⁽¹⁾ (z, t) - и (Z, 0 о(0, со) + UI Z, ( - I Ц, оо j ,

4° (^z> 0 = ^и2(^z> 0 (°> °°) + «2

, М

^-tjx⁰⁰

(4.38)

где функции и (z, t), u₂(z, i) являются решениями системы уравнений