Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

jf

dz*

, du dt

д²и¹

^+p~)7~^T'

(4.39)

+ e₂ f 1 +M2y_t\ I^й ~ ^иг -^pd (^z ~ l°> 7

d²u₂ d² u₂ l Q\ . . _Л

"'IF" ^Тг17*^Ег ('⁺"²Ц (“ - “2) “ °-

описывающей колебания СТЛ при движении одиночной нагрузки величиной Р. В общем случае при произвольном вместо равенств (4.38) имеем

«<‘>(.,0-2

i= 1

, ^z\i.

^z2i 1 f ^z2i

(4.40)

4^1}(^z> 0^si

/=1

u₂\z,t~-

Hi

V

, 00 -f u₂\z,t--— | a 1 —00

Функции (4.40) позволяют интерпретировать решение уравнений (4.35) как результат воздействия на СТЛ системы 2/₀ одиночных нагрузок, расстояния между которыми (1_{ и Ц + 1₂) чередуются, либо двух систем одиночных равноотстоящих нагрузок (число нагрузок г₀).

Таким образом, задача о колебаниях однопролетной СТЛ при движении по ней транспортных модулей в первом приближении сводится к задаче о колебаниях пролета под действием одиночной нагрузки.

4.2. Исследования колебаний гибкой струны. Первое приближение СТЛ

В этом разделе рассмотрено нагружение струнной транспортной линии с корпусом, жесткостью которого можно пренебречь. Исследовано равновесие пролета под действием одной и двух одинаковых нагрузок; получены формулы для максимального статического прогиба. Дан подробный анализ колебаний пролета при движении одиночной нагрузки и потока нагрузок для различных скоростей движения, определены максимальные динамические прогибы и выявлены безрезонансные режимы движения. Построена траектория одиночной нагрузки и найден максимальный прогиб пролета под нагрузкой.

4.2 Л о Постановка задачи. Статический анализ

Рассмотрим А^-пролетную СТЛ, жесткостью и массой корпуса которой можно пренебречь. Струны СТЛ считаем связанными между собой невесомыми связями так, что расстояния между их точками, лежащими на одной вертикали, неизменны. Опоры линии предполагаем жесткими двусторонними связями.

Из принятых допущений следует, что соседние пролеты при движении не оказывают взаимного воздействия друг на друга и, следовательно, колебания пролетов в первом приближении будут одинаковыми с точностью до сдвига по времени на величину /₀/v. Это значит, что задача сводится к изучению колебаний однопролетной СТЛ под действием движущихся нагрузок. Из уравнений (4.16), (4.35), (4.39) следует, что колебания пролета при движении одиночной нагрузки описываются уравнением

(4.41)

где

а = ( Т/р²

т, + тЛ^1/2

Pi +Р2

/

Граничные и начальные условия задачи:

(4.42)

и (О, I) ~ и (Z_0i t) — О,

(4.43)

Если на пролет не действуют сосредоточенные нагрузки, то уравнение равновесия нижней струны пролета, которая обеспечивает горизонтальность верхней струны, имеет вид

.2 - ' d у^л .....

^т2~ТТ ⁺ (Pi 0.

dz

Отсюда с учетом нулевых граничных условий получим функцию перемещений

р I

Уг0 (*) = s щ²(^/о

которая использовалась при выводе уравнений (4.13). Очевидно, что

,,шах _ „/2^1 Р2

У20 ~ .............%f~— *

Если положить, например, длину пролета /₀ = 50 м, суммарную массу на единицу длины струн р\ 4- р₂ = 100 кг/м и натяжение струн Т₂ =

= 10⁷Н, то максимальное перемещение у₂()^Х “ 3,125 см. Малое значение перемещения yJo ^х позволяет заменить функцию у₂₀ (^z) ^в формулах (4.9) ее средним значением на пролете.

Пусть две одинаковые нагрузки величиной Р действуют на пролет в точках z = Ь_у z = b + . В результате пролет разбивается на три уча

стка, равновесие которых описывается уравнением

d²u_l __

—у = 0, /= 1,3. dz¹

Отсюда с учетом условий

и¹(0) = и.³(/₀) = 0, и¹(Ь) = и²(Ь), и²(Ь + 1_Х) = и^Ъ{Ь + 1{),

^Т' Тг ^ - ^и'Ъ=Ь = ~^Р> Т Т_г («³ ~ Л-А-Ц = "Л

находим

и‘(г)=^т(С‘г +D% г = 1,3,

I 2b + L -у| •> Z.

C¹ = 2--j—-, С² = C¹ - 1, C³ =--r— -

D^l =0, D² = b, = + Zj

Простые рассуждения приводят к выводу, что максимальный прогиб пролета

о

3/Л

/Г

о

Считая /j постоянной величиной, найдем

«с ^аХ = ^max “max (*)

После несложных вычислений получим

т_п

1₀Р ( li\ 2

2Г ¹ ~2Z^ ’ °“^/l " 3^Z°

(4.44)

2T

, з < Zj < Z_Q.

Полагая в (4.44) Zj = 0 и разделив полученный результат пополам, получим максимальный прогиб пролета под действием одной нагрузки Р

Iraax _ kP ^lc ~ т'

(4.45)

4.2.2. Колебания пролета при движении одиночной нагрузки

Для определения колебаний пролета под действием одиночной нагрузки необходимо решить уравнение (4.41) при условиях (4.42), (4.43).

L Динамический прогиб. Общий случай. Для удобства дальнейших преобразований введем новую переменную г'

_ W

^z ж *

Уравнение (4.41) и условия (4.42), (4.43) примут вид

д2 u	2 Л 2 Л d U	Pi (kt,
dt2	61 J2 xJ2 /q dz	= ~t u\~~ Z P

(4.46)

(4.47)

(4.48)

и (0, 0 = и (ж, 0 = 0,