Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

Iraax _ kP ^lc ~ т'

(4.45)

4.2.2. Колебания пролета при движении одиночной нагрузки

Для определения колебаний пролета под действием одиночной нагрузки необходимо решить уравнение (4.41) при условиях (4.42), (4.43).

L Динамический прогиб. Общий случай. Для удобства дальнейших преобразований введем новую переменную г'

_ W

^z ж *

Уравнение (4.41) и условия (4.42), (4.43) примут вид

д2 u	2 Л 2 Л d U	Pi (kt,
dt2	61 J2 xJ2 /q dz	= ~t u\~~ Z P

(4.46)

(4.47)

(4.48)

и (0, 0 = и (ж, 0 = 0,

_U(_Z’,0)=^°1 ₌ 0.

Для решения полученной задачи применим к уравнению (4.46) интегральное синус-преобразование Фурье в конечных пределах [33]. В результате придем к уравнению

с условиями

д²и 2 я² г~ яР . луп , (_л k —- - а п и = —ггsin — 0, —

г2 р 1₀ I ’ v

дГ

О

_лч du0) _л

^и°) =........*

(4.49)

(4.50)

для трансформанты

ж

и (п, t) = J и (z\ 0 sin (nz¹) dz’ ,

0

Решив уравнение (4.49) при условиях (4.50), получим

и (п, 0 = —2 2 п

. алп , . шп _л ^ ^ ч)

v sin — t — asm —;— t, 0 < t < — ,

о

о

. алп ^ . L , a at

sin —j— t -f sm лп i +---т

^l0

L (4.51)

, t>

Выражение (4.53) позволяет вычислить динамический прогиб пролета в общем случае, то есть для любых скоростей v & а и момента времени L Вычисляя предел функции и (z, t) при v -*■ а, получим

_А ^o(^mi + 2т₂) £ __!__даг _

u(z, t) - 22 2 ^sm; ^z

ip л a _n=si *0

. ОЯП , ЯЯГС* ЯЯ/Т _Л . . ^ ^

Sin “1— / - —7— COS ”7— 0 < t < —

\

я атш , , ^£o — cos —r— t > —. n l₀ a

Благодаря хорошей сходимости использованного тригонометрического ряда функция (4.53) удобна для численного анализа. Качественный анализ этой функции возможен только после ее упрощения путем суммирования входящих в равенство (4.53) рядов. Воспользуемся для этой цели известным рядом [6].

л - у _ ^ (4.54)

1

2 ~2 sin nz sin пу — n~m

Здесь

А =

2 PI

, 2/2 2_Ч * р art (v - а)

Решение исходной задачи представляется в виде ряда

u(z', t) = ~2?и (п, t) sin . n=l

(4.52)

Вернувшись в равенстве (4.52) к прежней переменной г, получим

и (г, t) =

1₀ (4.53)

00 ₁

Е1 . UJt

~2 Sin-т- Z п=ХП² О

. алп . шп л

v sin —1— t — a sin —j— t, 0 < / <

k ^l0 ^v

sin-

cam

/n

f + sin лп [ 1 + — — —■ v l₀

, t>

2 —2^ , -У < Z < у,

у , у < х < 2я — у, 0 < у < я .

При использовании разложения (4,54) для суммирования рядов в выражении (4.53) возникают качественно различные ситуации в зависимости от соотношения скорости движения нагрузки v и скорости рас-

1/2

пространения возмущений вдоль струны а = (Т/р) . Рассмотрим

поэтому некоторые частные случаи.

L Случай v > а = (Т/р)^1/2 (скорость движения нагрузки превышает скорость распространения волны деформации вдоль струны). Максимальный динамический прогиб.

Ряды равенства (4.53) на основании разложения (4.54) запишутся так:

r v> 1 . QJtt . 7ZZIt = V У “у SHI П -у— S1H П ~Г~ „„1 rtL h hii=1 « *0
1 . К7Г/ . JTZ

7 cmi .'О ‘О

/? = а у —у sin п ~т~~ sin п -г- = ² _Ч=1П² о /о

Опустим промежуточные вычисления и запишем динамический прогиб и на временных интервалах, преобразованных пересечением областей определения соответствующих рядов 1_к и функции (4.53).

/₀

При 0 < ( < у: й = Л(/, -1_г),

2 fz(v- а), 0 < г <

I, - 1-г = -ту- i a (vf - z), < z < w,

J0, vt < z < l₀.

^При7^<г"^(¹⁺ф « = ^(/,+/₃),

2/л

УЛ

2L 1

⁰⁰ 1

-v Y —2 sin n

n=in

ал

k

i_n\

Л

sin nj- (l₀ - =

do - ^z)(^2/0 “ ^at)> vt [ 1 - j-1 , z < 21q - at.

a a

z (v - a), z < at, a (vt - z), at < z < l_Q + Iq~ - at,

(v + d)(l₀ - z),l₀ +l₀^

При

2 a

¹⁺$

^ : u = A(I_l+I₃),

z (v- а), 0 < z < l₀ + l₀— — at,

^a(^l0 + ^l0^ ~^z~ ^vt)> ^lo + ~ at, (v + a)(/₀ - z), at < z < l_Q.

ⁿP«^(¹⁺f) + u = A(I₃-I₄), z (v — а), О < z < Iq + /о — — at,

г ~iL ^/4 " 2/₍

О < t<

^lo

>0+‘3-at

/.4g-a<

i-fi + г) <(_S2

2a \ v) а

at ‘ог
/п О

k<_ls!o ₊ !o

a v а

lo+lov'at
	О Z
Рис. 4.42/o-af