2v/0 а 4- v *
Тогда
а а
i + 1 ’ i
, i = 1, 2,...
Рис. 4.6
Из этого равенства, в частности, следует, что при уменьшении скоро**
сти vot а до а/2 прогиб w^max уменьшается в 9/8 раз. Аналогично может быть найден прогиб пролета при
а
Z 4- 1
< v < 4 для любого i.
4.2.3. Динамический прогиб пролета при движении потока нагрузок
Предположим, что в момент времени t ~ 0 на покоящийся пролет вступает первая из потока Z0 нагрузок величины Д движущихся с постоянной скоростью v на расстоянии Г одна от другой. С практической точки зрения весьма важно знать величину динамического прогиба пролета после прохождения г0~й нагрузки в зависимости от значений постоянных Г, v и Z0. В частности, для организации непрерывного движения нагрузок необходимо найти такие значения Г и v, т.е. такие режимы движения, при которых максимальный динамический прогиб пролета остается ограниченным для большого числа нагрузок (Z0 ©о).
Не менее важно также найти резонансные режимы движения, т.е. те значения параметров Г и v, при которых максимальный динамический прогиб неограниченно возрастает с увеличением числа прошедших по пролету нагрузок.
Для рассмотрения поставленных задач воспользуемся результатами, полученными в пунктах 4.1.4 и 4.2.2, из которых следует, что динамический прогиб пролета иd дается равенством
(4.58)
где функция и (z, t) определена формулой (4.53). Из равенства (4.53) следует, что функция и (z, t) при t > Z0/v периодична по t с периодом /0 = 2Z0/a. Тогда функция и (zyt—(i— 1) l'/vj имеет тот же период при t > Z0/v + (Z — 1) Z'/v, a ud (z, t) — при t > Z0/v + (Z0 — 1) Z'/v. Следовательно, для небольших чисел Z0 прогиб ud в фиксированный момент времени в интервале
Z0/v 4- (Z0 — 1) Г/v < t* < Z0/v + (Z — 1) V/v 4 Z0
можно определить геометрическим путем. Для этого, очевидно, нужно сделать следующее:
1) построить график функции и (z, /* - (i0 — 1) Z'/vj на интервале 0 < z < /0;
2) продлить периодически этот график на значения z > /0;
3) сложить графиков функций ы ^z, С - (z0 — 1) V/v\ на интервале О < z < /о, смещая каждый последующий относительно предыдущего на V в отрицательном направлении оси Oz.
Некоторые выводы из равенства (4.53) при определенных значениях V и v можно получить и без геометрических построений.
1. Случай v = 2^ТТ; 1,2,31 •••’ ^ — любое.
Из равенства (4.53) имеем
п=1П
°° 1
= Av2 —
. /ига , , .
sm—^— t 4* sin пл l0
. плаv . .
Sin—;— t 4- Sin ПЛ l0
1 4-
sin-
ПЛ£
. плг Л sin —г— s 0
(4.59)
Это тождество означает, что возмущение, созданное движущейся по пролету одиночной нагрузкой, после ее схода с пролета полностью исчезает. Из него следует также, что при движении потока сошедшие с пролета нагрузки не вносят вклада в деформацию последнего, и прогиб пролета определяется лишь движущимися по нему нагрузками. Следовательно, максимальный прогиб пролета ограничен и может быть найден, если задать расстояния между нагрузками.
Анализ характера деформации пролета позволяет сделать вывод, что при Г > 2к10/(2к 4-1) каждая нагрузка вступает на невозмущенный участок пролета, т.е. все нагрузки находятся в одинаковых условиях движения.Таким образом, в рассматриваемом режиме движения колебания пролета исчезают в силу взаимного погашения волн деформации. Кроме этого, положительной чертой данного режима движения является необходимость точно выдерживать лишь скорость движения, не заботясь об интервалах между нагрузками, которые могут быть любыми.
2. Случай v = ^r,/ = ^—-р2^, 4, /= 1, 2,3,.... Равенство (4.53) в этом случае примет вид
/ л т лV» 1 • ПЛа . • n3tz „ ^ ‘О
ы (z, t)= 2^4v У -=■ sm-т— t sin -r—, > —.
£\nl zo '0 v
Отсюда имеем
и|z, t - (i- 1) pj ~ и ^z, - 1)(2 - 1) у
= U|z, t + ( i 1) у Тогда из равенства (4.58) получим
f0 ,
t=i
и (z, t), i0 — нечетное , О, z0 — четное.
к V
<>7+(гЧ?
Это значит, что в рассматриваемом режиме движения прогиб пролета после прохождения /0-й нагрузки равен прогибу после прохождения одной нагрузки, если г0 нечетно, и равен нулю, если i0 четно, т.е. прогиб ограничен при любом /0.
Максимальая скорость движения v равна 0,5а, а минимальное расстояние между нагрузками Г = 0,5/0 (по пролету могут одновременно двигаться две нагрузки). Подробный анализ, проведенный для указанных значений v и позволяет заключить, что максимальный