8~\k ~ 8uak b2k + 84k(Pk b2k ~ Уп blk) >
^84 = 84k ak b2k~ 8зк b2k ~ Уп blk) >
GXk ~ ~8зк a\k ~ 84k d\k » G2(t = ~84k alk ~ 8zk d\k > G3k = ~8zk a2k ~ 84k ^2k > G4k ~ ~84k a2k ~ 8'ik d2k >
b4k ЬЪк
_ak __ ak} _Рк + Уп , _ Ulk~hk' ^'hk' dlk~~~hT’ d2k~
b4k
°4k
<5U = лп+рк~, +
k
Тогда, возвращаясь к (4.71), получим расчетное выражение для перемещения и (z, t)
00 tan <4-80)
u(z,t) = 2 (0 sin-7-.
n=l 0
При необходимости аналогичным образом может быть получена функция и2 (z, t).
Найдем теперь корни Xk, к e 1, 2 уравнения (4.78), учитывая, что для реальных материалов {л2<< 1. Так, например, для стали ^
А 7
имеет порядок 10 , для каучука порядок /и2 — 10 . На этом основании корниД^, как функции qtju\ju2, можно искать в виде разложения в ряд по степеням/*',//2 :
ЭАЦО, 0)
d/i ^
=4(°> °) +
дХк(0,0) (4.81)
—Tjr~H2 + --
(4,82)
причем Д^ (0, 0) является корнем уравнения Д 4" &2о Д 4* Qq — 0 ,
откуда
4(0, 0) = 0,5 (-а20 + (-1)*Д1/2)
(4.83)
•f 4^21^22 “ ^1 + 4^21^22
— I п\еп + nf (Tu - Т22)+ £21 - £22
£>1 - «fo, + 4 (ГП - Т’гг) + £2i “ е22 •
Поскольку при любых значениях постоянной D, параметры а2о и а0 положительны, то
(4.84)
1/2
то
Дифференцируя уравнение (4.78) последовательно по /л' и /и2, найдем
ЗА* (0.0) 1 4
д/г’
~ 4 п\
-1 +
D
1/2
(4.85)
^А*(0, 0) _ 1 , „ ч А), (£22 - £21) - 4£21£22 (4.86)
4(—1)* £>1/2
“ Зд2...............= “4(£21 +£22)--
Если ограничиться тремя членами ряда, то подставив (4.84) — (4.86) в разложение (4.81), получим приближенные значения корней А*. Ясно, что
Рк ~
0,5
(a20-(-l/D1/2
п 1/2
(4.87)
ЗА* (0,0) , i ЗА* (0,0) f , а = —3 — * + ЗдТ”^2’ А=1,2.
Представляет интерес оценка промежутка времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается до некоторого заданного значения. Коэффициенты ак зависят от п и характеризуют скорость затухания стоячей волны, длина которой равна /0/п. Действительно, z-кратное уменьшение амплитуды такой волны произойдет через промежуток времени
ti (п) = max -
In 1/z
In i
(4.88)
*= i,2«*(n) min(~M«))'
k-\,2
Найдем сначала tx для волн большой длины, т.е. будем считать, что п = 1, 2,п2 и, кроме того, справедливо соотношение
< 1
(4.89)
где
7](П) =
п\Еп + nf
Е21 ~
е21 + е22- ■
Неравенство (4.89) выполняется» например, при исходных данных п2= 1, 10 = 50 м, Тп, Т22 < 107H,£21, £22 > 105 Па, Яп < 109 Па. Преобразуя величины (4.85)—(4.86), получим
Е2\ +
дА*(0,0) _ 1 4
dfi’
= 4п\Еи
-1 + (-1)*
V О) + Е0
(4.90)
[1+2E0rj(n) + V2 (л)]1/2
^«2
£21 + ^22 /
1 -
£0?7 (п) + 1
(-!)*[! +2E0r,(n) + rj2(n)]l/2
(4.91)
Разлагая правые части равенств (4.90), (4.91) в ряды по степеням rj и удерживая члены до второго порядка включительно, имеем
Минимальным значение —а^ будет, очевидно, при к- 2, т.е.
, I £21 + Е22 2 2 (4.93)
•+ (1 + Е0)Е0г)2(п) + l\fi’ +д2-^-8--2-(1 ~ Я0)У(«)
Пример расчета. Примем Еп = 104 Иг&, Е2\ = 106 Па, Е22 =
* 106 Па, Ти = 106 Н, Т22 = 0,5 • 107 Н, /0 - 50 м. Из анализа г\(п) следует, что для таких значений параметров можно взять п2 = 10 и rj(n)
~ - 10~3п2. Тоща равенство (4.81) упростится
min (~ак) = 0,025/т4 (1 + 1,33* 10“3н2 + 0,66- 10~6д4)//' 4-А:=1,2
+ 0,43/1^2 ~ я4 (0,025/м' + 0,43^2), п < 10 ,
и из (4.88) получим время, например, десятикратного уменьшения амплитуды волн
*10 (п) =
In 10
5,34
min (-
к=1,2
'ак.) п* (0,058/*' +/л2У
п < 10.
(4.94)
<2
Отсюда следует, что если коэффициенты /*', ju2 имеют порядок 10’ , то
о
порядок tl0 (1) равен 10 с (17 минут), а £10(Ю) имеет порядок 0,1 сек. Следовательно, после схода нагрузки с пролета прогиб пролета уменьшается неравномерно по длинам волн; чем короче волна, тем быстрее она затухает. Быстрое затухание самых длинных волн, как следует из формулы (4.94), не может быть обеспечено лишь диссипативными свойствами материалов СТЛ. Напомним, что эти выводы верны лишь для тех длин волн (величины п), для которых справедливо неравенство (4.89).