Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

Найдем теперь ц (п) для больших /г, т.е. для очень коротких волн. Будем считать, что п > щ и выполняется неравенство

1 + 2ЕрТ] Оз)

?²(«з)

< 1.

(4.95)

(Для данных рассмотренного примера /г₃ = 112).

Разложим правые части равенств (4.90), (4.91) в ряды по степе

1

1

и ограничимся членами

V

ням

ая*(0,0) 1 _4ri

—--4«i^ii

-1 + (-1)*

1 -|(1 -£₀)²

(0, 0) _

д/г₂ '

^Е2\ + ^Е22

1 + (-1)* I £₀ + | (1 - Ё + | - 1) ^

п > nz

Отсюда получим

Е22

min (—а^) — -~— ■Л=1,2 ■

^0^Е21 , , ^ 4^I^м +

I

= 0,25-10°

В частности, для = 112

л₄£_п/г

6 " \ /М' +/“2

/

6,43-10 , ,

-4-/« +/“2

, п > 112.

(4.96)

(4.97)

min (-а*) = 0,25-10⁶ (4,1-10 У + .

£=1,2 '

Подставив (4.96), (4.97) в равенство (4.88), получим

*10 (") =

0,92-10

-5

6,43-10¹

, *10(П2) =

0,92-10

-5

4-м' + М2

4,1 • 10 / + М2

(4.98)

п > 112.

Отсюда следует, что время десятикратного уменьшения амплитуды волн длины Zq/п, п >112 имеет порядок 0,01 сек, если порядок коэф-

_о

фициентов_/и^,,_/и2Р^авенЮ .Изравенств (3.31) и (3.27) следуеттакже, что при одинаковых значениях /л', ju₂ вклад в обеспечение затухания волн материала корпуса СТЛ по сравнению с заполнителем, работающим на сжатие—растяжение между струнами, меньше в 17 раз для

/112\~⁴

больших длин и в 24 • раз для длин /₀/п, п > 112. Значит, если

предположить, что (л₂ = 0, а /и' ^0 (заполнитель не рассеивает энергию при сжатии-растяжении), то короткие врлны (п — велико) будут затухать весьма медленно, т.е. СТЛ будет длительное время “звучать”. В связи с этим большое значение имеет подбор заполнителя с хорошими демпфирующими свойствами.

4.3.2. Поток нагрузок на СТЛ с разрезным корпусом

Постановка и решение задачи. Пусть по струнной транспортной линии, рассмотренной в п. 4.3.1, движутся одинаковые сосредоточенные нагрузки равные Р с постоянной скоростью v и на равном расстоянии Г одна от другой. До начала движения нагрузок СТЛ находилась в равновесии. Если коэффициенты демпфирования^' и /и₂ отличны от нуля, то собственные колебания СТЛ являются затухающими и, следовательно, через некоторое время движение линии будет стационарным. Опишем стационарный режим вынужденных колебаний СТЛ.

Уравнения движения пролета имеют вид

(4.99)

Поскольку/' > /_0> то длительность движения нагрузки по пролету t\ = /₀/ v меньше временною интервала^ = V /v между соседними нагрузками. Следовательно, в течение времени 2/₃ (г₃ = 0,5(t₂ - h)) на пролете нагрузка отсутствует. Для удобства дальнейших выкладок будем считать, что первая нагрузка появляется на пролете в момент времени t = /₃. Тогда ее воздействие описывается функцией

/(z, t) = Р<3 (z - v (t - /₃)) а (f₃, t_x + t₃) (4.100)

Через промежуток времени 2/₃ после схода с пролета первой нагрузки на нем появляется вторая, т.е. воздействие нагрузок на пролет повторяется с периодом /₂* Следовательно, для описсания воздействия потока нагрузок на пролет необходимо для функции /(z, /) вместо формулы (4.100) записать выражение

Р <5(2 -v(t~<з)) а (*₃, + *з), 0 < t₂ (4.101)

/(*> о =

/(z, (+ t₂) =f(z, t).

По аналогии с предыдущим разделом ищем решение системы (4.99) в виде (4.71). Тогда функции q_n (i),q (<) найдутся из уравнений

я 'п + ("i^£i 1 Р' + ^Ег\Рг)я_п ~ ^Ег\РгЯг_п +

+ («1^п + п}т_п + ^E2i) ^Ег\я_гп = (0 - ^(4Л02)

Я₂п + ^Е22РгЯ2п ~ ^Е22Р2Яп + + ^£22> ^2« ~ ^£22 = 0 ,

где

Рл(0

sin ^ (( - (₃) °(/₃, <1 + *з)> <Рп 0 + <2) = Рп(* + <2) = Рв (0-

(4.103)

При п — нечетном <р_п(() (4.103) — четная функция, а при четном п — нечетная. Тогда ср_п (t) можно аппроксимировать рядами

1 °°

<р_п (t) = ^А_п0 + 2 А_пк cos e_kt, п — нечетно,

^L к= 1

(4.104)

<р_п (0 = 2) S_nk cos > 0, « — четно, A=i

(4.105)

где

2*i^+f3 (4.106)

= ~2 / ^sin Уп (* ~ (3) cos е^г с/(, п — нечетно, А = 0, 1 ,...

* г³