Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

2

= ~2 / siny_n (/ - f₃) sin Л, п — четно, & = 1, 2,..

* и

(4.107)

Уп = ~Т~ * ^ек = -Т = ^аУк> ^а = Т • *0 t ¹

Вычислив интегралы (4Л 06), (4Л 07), найдем коэффициенты ря-4а

даЛ_п0 =

лп

^Апк ⁼

0, к — нечетное,

.а , _лЛ/2 кла

⁴я^п(-1) ^cos

п² -

, к - четное, д — нечетное

0, к ~ нечетное,

п² - (а&)²

, н ~ четные

Заметим, что при а = 1 имеем

4п

а _ ^л с — /0» п ^ к ^Апк ~ д² _ £2’ “ |1, п = к

Систему (4Л03) решаем с помощью преобразования Лапласа. Учитывая нулевые начальные условия, получим

q(\) - A tp_n (Я) D_n (А) ,

где

А² + П²\Т₂₂ + &22 С^{1 +} ^2*) А_П(А)

(4.108)

(4.109)

4- ^ ~2-~2 ^ п ” нечетное, к - четное,

(4.110)

2А ^ . „l

к= 2 л + е_к

2 ^S«A 7ГТ-2 • “ ^четные.

*=2 Я + £*

Поскольку нас интересует установившееся движение пролета, то при нахождении q_n(t) из равенства (4.108) необходимо учесть лишь

полюсы функции <р_п(А). Применяя к равенству (4.108) обратное преобразование Лапласа, найдем

Яп (0 =

Здесь

A_noD_n(0)

+ ^ A_tlk[Re D_n(ie£) cos e_kt + Im D_n(ie_k) sine^H ,

k=2

n — нечетное, к - четное,

00

Z ^snkt^{Re D}n(^iek)^sine** +^{Im cose}** 1

2

n, к - четные.

cm)

тъ г-, / ■ 4 ^Rln^Rn _т ГЛ / • \

Re D_n (ie_k) = ——УТТ2-’ ^{Im D}n (^iek)

•^1 '[n^ln

*l + J²n

Щn - ^1^22 + ^22 - *4 ’ ^l/i - ^E22^2 l

^Rn = 4 ~ ^Cl2^£k + «0 5 ^Jn = (*1 ~ ^fl3^e*) •

Подставив функцию (4.111) в разложение (4.71), получим прогиб пролета под действием потока нагрузок.

Динамический прогиб и (z, t) представим в виде суммы

и (z, t) = Uq (z) + u_kol (z, О» где стационарная составляющая прогиба имеет вид 4Р

(4.112)

(4.113)

нечетное,

Итак, функция w₀ (z) задает неизменяющуюся со временем форму пролета, относительно которой происходят его колебания при движении потока нагрузок. Эти колебания описываются колебательной составляющей u_koi (z, г:).

Из равенства (4.113) следует, что величина стационарной составляющей прогиба в любой точке пролета пропорциональна отношению Р/1 (средней плотности нагрузки на СТЛ) и не зависит от величины скорости движения нагрузок. Легко видеть, что график функции Uq (z) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей

через середину пролета, Это значит, что w₀ (z) не зависит также и от направления движения нагрузок. Максимальное значение прогиба и™'^ах (z) достигается в середине пролета

4 Р_ ’ D_n(0)

°S п= 1

^ио^ах = щ1^Ы)^1п/2]

, п — нечетное,

(4.114)

Чтобы упростить дальнейший анализ, будем считать, что нижняя струна скреплена с корпусом СТЛ, что равносильно очень большой жесткости заполнителя. После предельного перехода в равенстве (4.113) при Е₂ ⁰⁰ получим

. V 4 Р ™ «О (2) = ^- х «~1

sin ■

rmz

(4.115)

1/2

— , п — нечетное,

EI

пл

+ Г

где

Г = Г, + Г? .

Функцию (4.115) можно понимать как статический прогиб пролета под действием распределенной нагрузки с плотностью/₀(z). Поскольку w₀(z) удовлетворяет уравнению

EI

(1⁴U₀ (l^ Uq

- Т-

dz^l

(4.116)

с условиями

d²u (0) „_ч d²u(l₀) и (0) = —у- = и (/₀) =

dz dz

(4.117)

то

. , ч 4Р ^ 1 . rmz

Е n^smir^,n'

я-1 ^и

(4.118)

нечетное.

Выражение (4.118) упростится, если учесть, что на интервале [0, /₀1 разложение единицы в ряд по синусам имеет вид

. 4^1. плг

1 = \ — sin —г— п — нечетное.

ж L ^J

п~ 1 ^и

Тогда /₀(z) = Р/1, т.е. u_G(z) — статический прогиб пролета от равномерно распределенной нагрузки с плотностью Р/Г. Теперь, зная /₀, можно решить задачу (4.116), (4Л17), найти u$(z) и просуммировать ряд (4.115).

Найдем приближенно w™^ax из (4.115), ограничившись благодаря быстрой сходимости данного ряда лишь первым членом.

шах

U_Q

4 Р

(4.119)

л1

EI

ж

+ Т

Если взять, например, Г = /₀, /₀ = 100 м, Р ~ 10⁴ Н, Т = 10⁷ Н,

EI = 10⁵Н‘М², TOWQ^ax ^ 0,13 м. Важной характеристикой колебательных систем являются резонансные параметры. Для определения резонансных режимов движения достаточно найти условия, при которых амплитуда колебаний функции q_n (f) достигает максимального значения прир’,р₂ ^й обращается в бесконечность для“ 0-

Известно, что при малом демпфировании резонансные частоты незначительно отличаются от резонансных частот при отсутствии демпфирования, поэтому для упрощения выкладок будем полагать fi^f = pi2 = 0. Тогда