Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

М\Ту2 4* Eji — 4 Im D_n(ie_k) = 0, Re D_n(ie_k) = -f--

^ek ~ ^a20⁶к ^{+ a}0

и необходимым условием резонанса будет условие

(4.120)

^ек ~ ^а20^ек ^{+ а}0 “ 0 .

Отсюда получаем

1 ( ^1/2

4 ⁼ 2 (^а20 ⁺ (^20 ~

0²^(-⁺Л'

(4.121)

^Апк * О,

(4.122)

Здесь индексы к, п принимают значения, при которых $пк ^ О*

Исследуем условие (4.121) более подробно для случая

^п\^Е\\ + ^п1 (^ТП + ^Т22)

^Ег\ + ^е22 '

Поскольку п1 = -г~, то условие (4.122) будет выполняться для _ ¹0

п — 1, /г₄, когда Е₂ достаточно велико, т.е. жесткость заполнителя превалирует над жесткостью корпуса и суммарным натяжением струн для больших длин волн. Тогда вместо (4.121) получим приближенно

V _ (^£2. + )‘^{/2 (4Л23)}

/₂ кл '

либо

(4.124)

2 2^ⁿl^EU ^{+ п}1 (^Т11 ^{+ Г}22>Ь

Соотношение (4.124) дает резонансный режим колебаний пролета со струнами как одного целого без учета сжатия—растяжения заполнителя, а (4Л23) — условие резонанса корпуса с верхней струной и нижней струны во встречных колебаниях за счет деформации заполнителя. Поскольку амплитуда встречных колебаний не может неограниченно возрастать (нижняя струна не может выйти за пределы корпуса) , то условие (4.123) можно исключить из рассмотрения.

Таким образом, условием резонанса волн длины 1₀/п (п < п₄) при выполнении неравенства (4.122) является равенство (4.124), которое можно записать так

¹ hWe^/Iq +Т_х + Т'2 Р 1 + /°2

1/2

(4.125)

Е_п+Е₂₂ (4.126)

“4-Т—--- < 1, П >

«1^11+Я1(Г,1 + Т22)

когда жесткость корпуса СТЛ и натяжения струн преобладают над жесткостью заполнителя для волн длины Iq/п, п > Тогда из равенства

(4.121) приближенно получим.....

V

nV 1/2

Щ^Тгг

(4.127)

или

2

*п + Гц

1/2

, п > п₅

(4.128)

Нетрудно убедиться, что (4.127) — условие резонанса при отклонениях корпуса и нижней струны одного знака. Следовательно, оба условия (4.127) и (4.128) дают резонансные режимы для коротких волн при выполнении неравенства (4.126). Напомним, что в условиях (4.121), (4Л27), (4.128) величины к, п принимают значения, при которых А_п^ отличны от нуля.

Заметим, что из полученных условий резонанса при соответствующих предположениях получаются частные случаи резонанса гибкой СТЛ, рассмотренные в п.4.2.3.

4.3.3. Поток нагрузок на СТЛ с разрезным корпусом при /₀, кратном I

Так как длина пролета /₀ кратна расстоянию между нагрузками то

1₀ = sl\

где 5 — количество одновременно находящихся на пролете нагрузок. Если считать, что в начальный момент времени одна из нагрузок находится над опорой, воздействие потока нагрузок на пролет определяется функцией

Здесь

f(z,t) = P2 д [z — v(t + (i — 1)*2)J, <6 [0;

/=1

f(z, t+ t₂) =f(z, t)

, _ ^zo , _ l_ *1

1 V ’ 2 у _s •

По аналогии с п.4.3.2 представим решение системы (4.99) в виде (4.71), получая систему (4.102), где

<Р_п(0 = s siny„ [t + (i - 1) e [0; f₂];

i=l

(4.130)

Нетрудно убедиться, что (p_n (t) при нечетном n — четная функция, а при четном п — нечетная для любого s - 1, 2,... . Кроме того, при четном п ц>_п (t) = 0 для четных Тогда при t > 0

1

У>„(0 = уАю 0) + 2 cos е_ки п — нечетно,

*=1

2) S_nk(s) sin е^г, л — четное, s — нечетное; к-1

0, п, s — четные.

(4.131)

Здесь

I ‘2

A_nk(s) = — 2 / sin у_п (t + (г — 1) /₂) п — нечетное,

²/=1 0 ‘

Л = 0, 1,2,...,

2

S ‘2

5_rlk(s) = — 2 / ^s’ⁿ Уп (t + (i - 1) (г) ^cos Л» я — четное,

(4.132)

² i=l о

=0,1,2,...,

Вычислив интегралы (4.132), получим

^nk(^s) ■ --у— ..........~........, Л — четное, я — нечетное,

ж (я² ~ А²)

О, к — нечетное,

8_пк($) = jO, к - четное, ks & я, s, к — четное, = я.

JO, к — четное, [5, к — четное,

Таким образом, для получения установившегося режима движения достаточно подставить величины (4ЛЗЗ) в формулы (4.111) и (4.71). Условия резонанса для рассматриваемого случая совпадают с условиями (4.121), (4.125), (4.127), (4.128), в которых^ нужно заменить на $,ая считать нечетным либо равным ks.

4.3.4. Поток нагрузок на бесконечной сплошной СТЛ при /₀, кратном I

Постановка и решение задачи в общем случае. Предположим, что поток нагрузок движется по бесконечной СТЛ со сплошным неразрезным корпусом, свободно опертым на недеформируемые опоры. Корпус нижней струны будем считать жестко скрепленным с корпусом СТЛ над опорами, а расстояние между нагрузками Г = Zq/s, где s — целое число.