Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания СТЛ под действием движущихся нагрузок.Период колебаний определяется, очевидно, соотношением скорости движения и длины пролета
 |
| V SV S |
Г lo h
Разобьем линию на участки длиной /0. Легко видеть, что эти участки находятся в одинаковых динамических условиях. Следовательно, динамический прогиб СТЛ есть функция периодическая по z с периодом /0, На этом основании функции и (z, t), ы2 (2, I) можно записать в виде бесконечного экспоненциального ряда
(4.134)
«2 (z> 0 = 2 snk exP 00
hti[k~- + n-j-
(4.135)
Тогда воздействие нагрузок и реакция опоры на корпус СТЛ и нижнюю струну на выделенном участке определяется функциями
f(z,t) = R(t)d(z) + P2 6 /=1
f2(z, t) = R2(1) 6 (z), z G
Z — v \t —
lo
2 ’ 2
t\ +
<2 f2 2 ’ 2
(4.136)
(4.137)
где Л (г), Я2 (() — реакция опоры на корпус СТЛ и нижнюю струну соответственно.
Поскольку / (z, t),f2 (z, () являются периодическими функциями, разложение в ряд будет аналогично выражениям для прогиба (4.134) и (4.135)
/(г. 0 = 2 ехР
к,п~ - 00
/2 (z, А = 2 с«* ехР
к,п-~оо
2ты' |*у- +
Ini [ & у- + « у-
(4.138)
(4.139)
где
(4.140)
(4.141)
1 ^/2
Функции и (z, (), u2 (z, () должны удовлетворять уравнениям
 | Л Л Лд и д U ___ т д иdtdz4 dt2 U |
Подставляя в уравнения движения корпуса и нижней струны (4.142) аппроксимации (4.134), (4.135) и (4.138), (4.139) с учетом граничных условий на жестких опорах
(4.143)
и (О, t) — 0, и2(0, t) = О,
определяются неизвестные коэффициенты vnk, и fnfc, Cnji (изложе
ние преобразований опускаем ввиду громоздких промежуточных выражений) .
Для определения динамического прогиба участка СТЛ осталось выделить действительную часть функции и (z, t), чем и завершается решение задачи. Формулы, дающие Re и (z, t) громоздки, и мы их здесь не выписываем.
Заметим, что изложенным способом может быть решена задача для бесконечной СТЛ на упругих опорах, по которой движется поток нагрузок при V > /0.
Для получения некоторых качественных результатов упростим задачу, считая материал заполнителя СТЛ недеформируемым (Е2 бесконечно велико) или, что то же самое, нижнюю струну скрепленной с корпусом СТЛ. Решение этой задачи может быть получено из приведенного решения предельным переходом при Е2 <». Более наглядным, однако, является последовательное решение упрощенной задачи.
Движение СТЛ в этом случае описывается уравнением
(4.144)
где функции и (z, £),/(z, t) имеют вид (4.134) и (4.138). После подстановки этих функций в уравнение (4.144) получим
lOUnkAnk = Rk + I «I + 1*1 * 0 ,
(4.145)
где
^nk Enki Iro A„t ,
Re Ank = EIn\ - pskj + Tn\,
R'Elnlkf, = ImA^. Из условия равенства нулю прогиба СТЛ над опорой имеем
(4.146)
Из уравнений (4.145), (4.146) определим коэффициенты и выделим действительную часть функции и (z, 1). Опуская промежуточные выкладки, запишем динамический прогиб СТЛ в виде
1
и (z, 0 = £/00 + г 2
^ Jt= — С
+
2 {^пк^Рпк + Bnksmfink)
Im Rj, ^ (Вnk fink -A ®Н1 finkj 4"
(4.147)
В 2 ‘Р nk nk^OS fink 4" В nk^in > I I 4" | * | 5^0,
Здесь
Re А„к Im
Ank = 77 72’Bnk = 77-72, fink = 4Z 4- k6t,
2
\Ank\* = (ReAlll(y+(lmAnk)
2 */* 5
 |
| *(-l)° s)^eA4a л _ £(-l)(1 -----— , £?/,---------— |
Re Rk= —P
АкСк +
 |
| 00 |
 |
| 00 |
Динамический прогиб (4.147) можно представить в виде суммы стационарной и колебательной составляющих
и (г, 0 = и0 (z) + ukoi(z, t),
где
«о(г) =
2р “ 1 — cos rtgz (4.148)
l cr„4 i лГ„2
Из данного представления следует, что колебания пролета СТЛ происходят относительно некоторого отличного от горизонтального стационарного прогиба Uq(z). Величина этого прогиба в силу равенства (4Л 48) в каждой точке пролета пропорциональна сумме находящихся на пролете нагрузок, которая приходится на единицу длины пролета. Проведем более подробный анализ функции w0(z).
Легко убедиться, что прогиб u0(z) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через середину пролета. Это следует из того, что указанным свойством обладает график каждого члена ряда