х = соз Ф « r/R характерной точки М.
к
На первом этапе от начального положения М0 с координатой х0 (см. рис. 3.3), до некоторого положения М1 с координатой xj осуществляется свободное, без диссипативных сил движение ротора, т.е. режим L Здесь ротор набирает радиальную скорость, двигаясь по усеченному конусу с прямолинейной образующей М0М1. Характерная точка М движется по прямолинейному участку М0 ; положение Xj определим ниже.
На втором этапе —- от положения Mj до положения М2 с координатой х2 — реализуется режим II движения ротора, когда участвуют внешние диссипативные силы. Положение М2 определяется на оси X на том же свободном от препятствий участке, что и точка М* орбиты, при этом х2 < х*. На рис. 3.3 точки М2 и М* выбраны на участке между орбитами Cj и С2 двух спутников. Координата точки М1 выбирается в промежутке [х0, х2]. Траекторией характерной точки М является кривая МХМЪ отмеченная штрихами.
Целью движения на этапе II является гашение движения по углу Ц> с выполнением к конце этапа условий
Ч> (х2) = 4> (х2) = ip (х2) = 0.
В плоскости экватора от положения М2 до конечного положения осуществляется режим III движения ротора с участием фрикционных сил. Цель этого движения гашение радиального движения по координате х с выполнением условий в конце этапа
* О*) = * (*♦) = 0.
Радиальное движение на этапе I описывается соотношениями (3,15); угловое движение по ip — соотношениями (3.12), (ЗЛЗ) и (3.21). В конце первого и начале второго этапов величины ip и ip1 принимают в точке Xj значения
(3.26)
Рассмотрим динамику ротора на втором этапе [х1? х2]. Дифференциальные уравнения движения в этом случае имеют вид вторых соотношений (3.9) и (ЗЛО).
Первое уравнение имеет интеграл
(3.27)
где Xj — радиальная скорость ротора в положении х1? определяемая, согласно (ЗЛ5).
Второе уравнение используем для определения управляющего параметрар (х) путем задания зависимости^ = ip (х), удовлетворяющей следующим краевым условиям.
1. Совпадение^ и ip* со значениями (3.26) в точке, обеспечивающее гладкое сочетание угла ip на первом и втором этапах.
2. Обращение в нуль ip, ip nip ь точке х2, т.е. выполнение условий гашения углового движения по ip.
Этим условиям можно удовлетворить, задавая угол ip на участке [Xj, х2] следующим образом:
(3.28)
з
ip (х) - (х2 - х) (ал + Ь), < х < х2.
Производные этой функции имеют вид
ip* = — (х2 — х)2 (4ах - ах2 + 36),
ip* = 2 (лг2 ~ x) (6ax - 3a.x2 + 3b). (3.29)
Первые множители в правых частях (3.28) и (3.29) с учетом (3.12), (ЗЛЗ) обеспечивают выполнение условий гашения движения по углу ip. Вторые множители, с неопределенными коэффициентами а ш Ь, используются для выполнения условий сопряжения в точке х{. Приравнивая хр в (3.28) игр* в (3.29) значениям в (3.26), находим:
_ 4>Q Р(4*1 - -Зх]
a = Fnr x]{X2-xtf ’
_ Vo (5/3 + Х2) хх-2§х2- 4,К|
Нетрудно убедиться, что функция р (х) имеет структуру р (х) = = #{х2 *) Pi (*)> 4X0 обеспечивает ее обращение в нуль в точке
х = #2 вместе с углом ip и его производными. Внешняя сила, необходимая для обеспечения процесса гашения по углу ip:
Р (х) = тЛ р (х).
Выбирая концевые точки Мх и М2 исследуемого этапа, можно определить траекторию характерной точки М в зависимости от числа, вида, расположения и размеров препятствий, величины свободного промежутка и т.д. Точку с координатами х*, z1? можно выбрать
произвольно, но, чем ближе она к исходной точке М0, тем меньше необходимая внешняя диссипативная сила Р (х); в принципе точка Мх может совпадать с точкой М0. Точка М2 (х2, z2 = 0) выбирается в том же свободном промежутке, что и iwKa орбиты М* (х*, z* = 0) так, чтобы расстояние от точки М до ближайшего препятствия было достаточно большое, превышающее возможные размеры препятствия.
При наличии дискретных препятствий в виде спутников или станций, плоскости орбит которых отличаются от экваториальной, возможен следующий способ их преодоления ротором. В момент пересечения ротором орбиты какого-либо объекта сам этот объект должен находиться в другом месте орбиты, по одну или по другую сторону от плоскости ротора. Для преодоления системы таких объектов следует рассчитать оптимальный, с учетом их положения и движения, момент начала движения ротора, с тем, чтобы ротор последовательно пересекал орбиты этих объектов с выполнением того же условия.