Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

3.6. Движение ротора на этапе гашения радиального движения

Движение ротора на заключительном этапе [х₂, xj, где гасится радиальное движение, происходит в режиме ///, при котором в качестве диссипативных сил используются фрикционные силы. Уравнение движения и его интеграл имеют вид:

(3.30)

/О), Х₂ < X < X*

^•2 ₊ _^__Х2)

х + Х2 хх₂

- 2

2/ f(x)

X,

(3.31)

«'У

где/ (х) — управляющий параметр, х — радиальная скорость в конце предыдущего участка, определяемая согласно (3.27) при х = х₂.

Управляющий параметр находим из условий гашения радиального движения в положении х* = /3:

(3.32)

х (х*) = 0; х(х*) -0.

Из (3.30) и первого условия (3.32) следует, что в точке х* параметр/ (х) также обращается в нуль: / (х*) = 0. Ищем/ (х) в виде линейной функции

/00 = (х* - х)/* = Ф - х)Д (3,33)

Подставляя это выражение в (3.30) и (3.31). получаем уравнения движения ротора на заключительном этапе:

X = ф - х)

(3.34)

X = х\ ~Т (х — х2)	/7	( X + Хо ^		(3.35)
	Чхх2	/3 2 - 2 г хх2	1СО1*юIX#
		V У

Множитель Д определяется с помощью второго условия (3.32):

(3.36)

Ф - Ч)

Первое слагаемое зависит здесь от радиальной скорости х₂ в точке х₂ и от расстоянии точки х₂ до точки орбиты х* = /?: чем меньше х₂, тем меньше х₂ и больше разность /3 — х₂ при фиксированном {$ и тем меньше первое слагаемое. Напротив, второе слагаемое увеличивается при уменьшении х₂.

Функция Д имеет минимум, зависящий от выбора точки х₂. Учитывая зависимость х₂ в (3.27) от х₂, получим путем приравнивания

_м dh *

нулю производном кубическое уравнение для определения х₂, зависящее, в свою очередь, от выбора точки ху\

3*2 ,

*2^Х\ ⁺ Я

Р^х2

¹А

А

~2х²₂

Ч

Ч

- 1

/

2х?

+ Ф~х₂)^г + у~1

= 0.

Здесь х_г и ку полагаем фиксированными; для случая х_х = х₀ = 1, ку = х₀ “ 0 уравнение упрощается:

Ф -2) х\ + 3^2 + - 3/3j х₂ + /З² - 1 = 0.

Анализ этих уравнений не приводится.

Определенную, согласно (3.36) функцию Д подставляем в зависимость (3,33) для управляющего параметра /(х), обеспечивающего выполнение условий (3.32) гашения радиального движения в конце исследуемого этапа. Динамика ротора на этом этапе определяется соотношениями (3.34) и (3.35). Значение силы трения F_Tp (х), необходимой для обеспечения процесса:

F (х) = mR²f (х) cos ^₀//₀ ,

Таким образом, получено решение задачи о маневре ротора при обходе группы препятствий и выходе его на заданную постоянную орбиту в экваториальной плоскости с гашением колебаний.

ЗЛ* Задачи о маневрировании ротора в условиях Урана и Сатурна

В качестве примеров преодоления ротором произвольной системы препятствий рассмотрим задачи о маневре в условиях Урана и Сатурна.

1. Планета Уран имеет десять колец, расположенных компактной группой. Из них восемь, в том числе последнее, имеют заметный эксцентриситет, т.е. форму эллипса; семь колец имеют малое отклонение от экваториальной плоскости.

В табл. 3.1 приведены значения радиусов колец R_i$ i — номер кольца, их относительных величин X; = R/R, где R = 26200 км — радиус Урана, и относительных расстояний между кольцами Ах = = x_t — Как следует из таблицы, вся группа колец лежит в границах [1,58; 1,98] откладываемой вдоль оси X инерциальной системы отсчета. Расстояние между кольцами не превышают 0,084, что соответствует 200 км. Учитывая эллиптичность колец, этот промежуток мал для безопасного вывода ротора на орбиту в зоне колец.

Кроме колец, в 1986 году открыта группа десяти малых спутников Урана; орбита одного из них расположена между восьмым и девятым кольцами, остальные движутся выше зоны колец, в пределах относительных радиусов 2,05; 3,28 (табл. 3.2). Последний спутник наиболее крупный, его диаметр 165 км; остальные — от 25 до 100 км; расстояния между ними составляют 10800—5000 км.

Таблица 3.1Радиусы и взаимное положение колец Урана
№ п/п	Радиус JRj (км)	Относительный радиусXi	Разность высот Ах = Xi - Хм
1	41600	1,58777	~ 0,58777..............
2	42000	1,60306	0,01529
3	42400	1,61831	0,01525
4	44600	1,70227	0,08396
5	45600	1,74044	0,03817
6	47200	1,80151	0,06107
7	47600	1,81678	0,01527
8	48400	1,84731	0,03053
9	50200	1,91601	0,06870
10	51800	1,97708	0,06107