Во всяком случае, египтяне знали о том, что треугольники с соотношением сторон 3, 4, 5, а также пропорциональные им, прямоугольные и широко пользовались этим соотношением, когда надо было начертить две перпендикулярные линии, так что треугольник 3:4:5 даже получил название египетского.
О его применении, среди прочих, рассказывает Геродот в своем описании работы землемеров после сдвигов почвы, вызванных разливами Нила. Засвидетельствовано использование египетского треугольника и в строительстве, к примеру, при возведении огромной пирамиды Хефрена, восходящей к XXVI веку до н.э.
Ясное указание на пифагорово соотношение появляется в различных египетских расчетах, однако до нас не дошло никаких свидетельств, что это соотношение было сформулировано в общей форме. К примеру, в одном из документов XII династии (ок. 2000 до н.э.), найденном в Кахуне, используется выражение
l2 = (3/4)2 = (1+1/4)2,
пропорциональное египетскому треугольнику. В Берлинском папирусе тоже содержится ряд медицинских, литературных и математических документов Среднего Царства, содержащих следы пифагоровой теоремы. В одном из математических папирусов решается система уравнений с двумя неизвестными в связи со следующей задачей:
Площадь квадрата в 100 квадратных кубитов равна сумме двух меньших квадратов. Сторона одного из них составляет 1/2 + 1/4 стороны другого. Найди длины сторон этих квадратов.
Египетские землемеры были жрецами, и их деятельность по измерению земли имела почти мистическое значение и вызывала благоговение у крестьян. Способ, с помощью которого они творили свое «волшебство», — это не что иное, как тригонометрия. Первые культуры, которые заинтересовались геометрией, развивали тригонометрические знания для использования их в строительстве и землемерии. Раздел земель на треугольники (триангуляция) всегда был главным методом измерения поверхностей, и развитие топографии вплоть до наших дней доказало его эффективность. Каждый треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника, которые позволят определить высоту или расстояние до недостижимых объектов с помощью измерения некоторых сторон и некоторых треугольников. Внимательно рассмотрев эти фигуры и сопоставив их с определениями синуса, косинуса и тангенса (см. стр. 55), можно заметить их очень полезные свойства. К примеру, b = a tg В. То есть вычислив угол В, можно получить значение а и, с помощью тригонометрических таблиц, узнать длину b. Это позволяет реализовать любые технические измерения с помощью линейки и теодолита (инструмент для точного измерения углов на местности), которые точно определяют длины и углы.
Английская гравюра начала XVII века, иллюстрирующая измерение расстояния до недостижимого объекта с помощью триангуляции.
На языке современной алгебры соответствующая задача решается следующей системой:
х2 + у2 = 100,
y = (1/2 + 4/4)x
что требует, как это видно в папирусе, выполнить подстановку и вычислить квадратный корень. Это решение типологически близко пифагорову, но более, чем о знакомстве с теоремой Пифагора, оно свидетельствует о том, что египтянам были известны методы решения двойных уравнений — значительный результат для Древнего Египта.
В Индии также развивались арифметико-геометрические знания, связанные с теоремой Пифагора, — они применялись при строительстве храмов и возведении алтарей. Между VIII и II веком до н. э. арифметические и геометрические сведения составили сборник текстов, известный под названием «Сульвасутра». Сульва — это термин, обозначающий веревки, использующиеся для измерения, а Сутра — книга правил и изречений, относящихся к определенному ритуалу или науке, так что название можно перевести как «Учебник правил о веревке».
Тексты «Сульвасутры» были своего рода сборником книг, где излагались правила возведения алтарей определенных форм и размеров, среди которых самые интересные — это «Баудхаяна» и «Апастамба», датируемые V веком до н. э. Там излагаются способы использования веревки не только для измерения, но и для построения перпендикулярных линий — для этого применяются три веревки, длины которых представляют пифагоровы тройки (к примеру, 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25). Для этих целей использовали чаще всего треугольник со сторонами 15, 36, 39 (пропорциональный треугольнику 5, 12, 13, называемому индийским треугольником).
Трудно оценить, насколько оригинальны эти сведения для Индии. С одной стороны, здесь, как и в Египте, использовалось натяжение веревок, а с другой — все тройки «Сульвасутры» легко отыскать в вавилонском правиле, описанном выше. Это наводит на мысли о том, что знания из Месопотамии пришли и на берега Инда.