Пифагорейцы постулировали абсолютную связь между числом и геометрией, но существование несоизмеримых величин подрывало сами основы этих отношений. Конечно, из-за этого члены братства не перестали изучать длины и соотношения в геометрии, но ограничились числовыми соотношениями только в тех случаях, когда они были соизмеримы. Со временем геометрические величины дистанцировались от величин числовых, так что те и другие стали изучаться раздельно. Введение понятия несоизмеримости убедило греческих математиков в том, что геометрия должна развиваться независимо от арифметики. Так разрушалась пифагорейская традиция, которая не делала различия между этими областями знания. Из «Диалогов» Платона ясно видно, что уже в его время геометрия считалась отдельной наукой.
Каким образом пифагорейцы так поздно заметили этот слабый пункт, который привел к кризису их систему? Что они ожидали найти в диагонали квадрата? Согласно теореме Пифагора, для квадрата со стороной 1 построенный на его диагонали квадрат будет иметь площадь, равную 2, и, таким образом, длина d данной диагонали должна быть числом, которое при возведении в квадрат дает 2 (то есть (d2 = 2). Здесь на сцену возвращается √2. Величина √2 была длиной отрезка, который можно, опираясь на квадрат, легко построить с помощью линейки и циркуля. Естественным было и предположение, что введя некую величину u (меньшую 1), можно было ею одновременно измерить и сторону (1), и диагональ (√2) квадрата? Очевидным было предположение, что сторона и диагональ квадрата должны быть соизмеримы. Однако это оказалось не так.
Такая постановка задачи приводит к следующему выводу: при умножении общей единицы и на некое целое число п должна получиться длина стороны 1 = nu, а при умножении ее на другое целое число m получается длина диагонали √2 = mu. Следовательно, должно быть верно следующее:
Иными словами, соизмеримость предполагает, что √2 представляет собой дробь вида m/n, где m и n — целые положительные числа. Идя по этому пути, пифагорейцы столкнулись с весьма неприятным результатом: они выяснили, что существуют числа, которые невозможно выразить через отношение целых чисел, и это открытие было несовместимо с их идеей универсальной арифметики. Последователи учителя назвали соизмеримыми соотношениями те, которые можно было выразить целыми числами, что означало, что обе величины могли быть измерены некоей общей единицей, а остальные — несоизмеримыми соотношениями.
Таким образом, то, что в современной математике выражается как
√2/2,
есть несоизмеримое соотношение.
История Гиппаса с ее совершенной фабулой, включая драматический финал, сочетает в себе элементы, которым позавидовал бы любой писатель: простой квадрат таит в себе семена разрушения, недальновидный член братства открывает ящик Пандоры... На самом деле не существует доказательств, что эти факты действительно имели место, и невозможно утверждать, что именно Гиппас открыл несоизмеримость квадрата. Еще одна легенда приписывает ему совсем другое доказательство существования несоизмеримости. В истории он остался человеком, который предъявил публике шар, составленный из 12 пятиугольников. Правильный пятиугольник — это математическая фигура, на которой относительно легко продемонстрировать свойство несоизмеримости, особенно с помощью древнего метода бесконечного спуска, который имел фундаментальное для греческой математики значение. С его помощью находили, к примеру, наибольший общий делитель двух чисел.
Метод состоит в следующем: даны две различные величины (a, b), где a < b, и из большей вычиталась меньшая; получалась новая величина b — a, и она вычиталась из a, и так далее. Эта процедура неприменима к паре величин (a и b), если они несоизмеримы. Когда a и b представляют собой натуральные числа, можно определить их наибольший общий делитель (НОД). Данная процедура, называемая евклидовым алгоритмом, всегда конечна и приводит к точному результату. Если процедура бесконечна, то наибольшего общего делителя не существует, и величины несоизмеримы. Эта теорема — мы не будем ее здесь приводить — была доказана Евклидом в книге X «Начал»: «Если даны две величины, и при последовательном вычитании меньшей из большей остаток никогда не сравняется с предыдущей величиной, то эти две величины несоизмеримы ».
Демонстрация существования несоизмеримых отрезков в пентаграмме.
Как видно на рисунке, диагонали правильного пятиугольника образуют другой правильный пятиугольник и так далее. Для цепочки пятиугольников, получаемых с помощью такого процесса, действительны отношения АЕ =АВ' и B'D =В'Е, где AD - АЕ = В'Е и аналогичным образом АЕ = ED' = ЕА' и В'Е' = B'D = Β'Έ, следовательно, АЕ - Β'Έ' = В'А', и так далее до бесконечности.