где — количество активов i—го вида (эмитента) в портфеле; — цена покупки одного актива i—го вида; — объём инвестирования в актив i—го вида.
Если МО капитального дохода актива i—го вида равно, то МО капитального дохода совокупности активов одного вида составляет.
Математическое ожидание капитального дохода портфеля, который содержит видов ценных бумаг, равно
Тогда соотношение для МО капитальной доходности портфеля можно преобразовать к виду
где — относительный объём инвестирования в один актив i—го вида (доля актива i—го вида в стоимости портфеля); — математическое ожидание капитальной доходности актива i—го вида.
Необходимо отметить, что в полученном соотношении:
математическое ожидание капитальной доходности портфеля является не чем иным как средневзвешенной капитальной доходностью активов, входящих в портфель;
и в частном случае, когда объёмы инвестирования в активы одинаковы,
Аналогичным образом определим дивидендную доходность портфеля активов
где — дивидендный доход актива i—го вида; — дивидендная доходность актива i—го вида.
Математическое ожидание доходности портфеля активов в целом составляет
где — математическое ожидание доходности актива i—го вида.
В литературе по теории инвестиций широко используется понятие средняя доходность ценных бумаг по видам, отраслям, за определённый промежуток времени и т. п. (см. табл. 1.2 и табл. 17.2 [1], табл. 6.5 [5], табл. 2.4 [6], табл. 28.1 и табл. 30.1 [7]). При этом под средней доходностью понимается среднеарифметическая доходность. Например, в табл. 1.2 [1] приведены данные за 68–летний период годовых доходностей трёх видов активов — акций, облигаций и казначейских векселей. На основе этих данных с использованием известной формулы рассчитаны среднегодовые (среднеарифметические) доходности каждого вида актива. То есть вес годовых доходностей безосновательно принят одинаковым. По этой причине полученные в табл. 1.2 [1] результаты расчётов среднегодовых доходностей активов и соответствующие выводы не могут заслуживать доверия.
Недопустимость подобного рода расчётов хорошо иллюстрируется простым примером. Предположим портфель содержит два актива А и В. Актив А был приобретён за 10 долл. и продан за 20 долл., а актив В — приобретён за 100 долл. и продан за 120 долл. (капитальные доходности активов соответственно равны и, относительные объёмы инвестирования — и. Согласно приведенным выше формулам получаем средневзвешенную и среднеарифметическую капитальную доходность
Результаты расчётов отличаются весьма существенно, что свидетельствует о недопустимости определения средней доходности (МО) портфеля активов без учёта их долей в стоимости портфеля.
Среднее квадратическое ожидание доходности портфеля активов. Если дисперсия дохода (стоимости) актива i—го вида равна, то дисперсия дохода портфеля, который содержит активов одного вида, составляет.
Дисперсия дохода портфеля, который содержит N видов активов, равна [1, 2]
где — коэффициент корреляции доходов (стоимости) активов i—го и j—го видов.
Формулу для расчёта дисперсии доходности портфеля можно преобразовать к виду
где и — средние квадратические отклонения доходности активов i—го и j—го видов соответственно.
Поскольку, а также при соответствующие коэффициенты корреляции равны единице () и, кроме того, и, получаем соотношение для СКО доходности портфеля активов [2]
Неравенство под суммой означает, что суммирование распространяется на все возможные сочетания и при условии выполнения указанного неравенства. Количество сочетаний и во втором слагаемом выражения (1.9) составляет.
Теоретически коэффициент корреляции доходов активов может принимать значения в пределах от –1,0 до +1,0. Однако на практике не существует активов, которые имели бы отрицательную корреляцию с каким — либо другим активом [1, 5]. По этой причине в дальнейшем будем полагать.
Коэффициенты корреляции доходов (стоимости) активов i—го и j—го видов рассчитываются с использованием исторических данных по формуле [2]
где — количество торговых дней в выборке исторической стоимости активов; и — стоимости активов i—го и j—го видов соответственно в — ый торговый день; и — математические ожидания стоимостей активов i—го и j—го видов соответственно.