Обычно волны разных типов (скажем, продольные и поперечные) распространяются внутри среды независимо и лишь на границе могут порождать друг друга. Здесь же трансформация волн осуществляется во внутренних точках среды. Например, при распространении волн в одномерной нестационарной, неоднородной среде рассеяние в отдельные моменты времени испытывают отдельные лучи. Соответствующие характеристики в пространстве-времени касаются в одной точке (рис. 74).
Рис. 74. Трансформация волн в одномерной среде
Кривые 1 3 и 2 4 на этом рисунке — гладкие, с касанием первого порядка. Касающиеся характеристики — это 1 4 и 2 3. На типичном волновом фронте, движущемся в трехмерном пространстве, трансформация волн происходит в отдельных изолированных точках.
За последние годы симплектическая и контактная геометрии появляются во всех отделах математики; как у каждого жаворонка должен появиться хохолок, так всякая область математики в конце концов симплектизируется. В математике есть ряд операций разных уровней: функции действуют на числа, операторы — на функции, функторы — на операторы и т. д. Симплект.изация относится к небольшому числу операций самого высшего уровня, действующих не на какие-нибудь мелочи (функции, категории, функторы), а на всю математику сразу. Хотя известно уже несколько таких операций высшего уровни (например, алгебраизация, бурбакизация, комплексификация, суперизация, симплектизация), для них нет никакой аксиоматической теории.
15. Комплексные особенности
Математики хорошо знают, что переход к комплексным числам обычно не усложняет, а упрощает задачу. Например, всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n комплексных корней, в то время как нахождение числа вещественных корней — нелегкая задача.
Причина этого явления состоит в следующем. Одно комплексное уравнение — это два вещественных. Множества, заданные двумя уравнениями (скажем, линии в пространстве или точки на плоскости) называются множествами коразмерности два. Множества коразмерности два не разделяют объемлющее пространство. Поэтому от любой точки пространства вне множества коразмерности два можно добраться до любой другой такой точки путем, обходящим это множество.
Рассмотрим пространство каких-либо комплексных объектов (скажем, многочленов фиксированной степени с комплексными коэффициентами). Особые объекты (скажем, многочлены с кратными корнями) определяются комплексным уравнением на коэффициенты. Следовательно, множество особых объектов имеет коразмерность два и не делит пространство всех объектов. Например, комплексный ласточкин хвост, образованный в пространстве комплексных многочленов х4 + ах2 + bх + с многочленами с кратными корнями, не делит пространство всех таких многочленов (вещественно шестимерное).
Поэтому от любого неособого комплексного объекта (например, многочлена без кратных корней) к любому другому можно перейти непрерывным путем, оставаясь среди неособых объектов (в примере — среди многочленов без кратных корней). Но при малой деформации неоеобого объекта его топология не меняется (скажем, число корней многочлена без кратных корней не меняется при достаточно малом изменении коэффициентов). Следовательно, топологические инварианты одинаковы у всех неособых объектов данного класса (например, число комплексных корней всех многочленов данной степени без кратных корней одинаково). Итак, остается изучить топологию одного неособого комплексного объекта (найти число комплексных корней одного уравнения без кратных корней)[8], чтобы узнать топологию всех. Напротив, в вещественном случае множество особых объектов делит пространство всех объектов на части. Например, обычный ласточкин хвост (рис. 34) делит пространство вещественных многочленов х4 + ах2 + bх + с на 3 части: в одной лежат многочлены с четырьмя вещественными корнями, в другой с двумя, в третьей — без вещественных корней (сообразите, в какой части сколько корней!).
Рассмотрим теперь в качестве объектов кривые, заданные на плоскости (х, у) условием f (х, у) = 0, где f — какой-либо многочлен фиксированной степени. Например, если степень равна 2, то неособая кривая будет, как правило, эллипсом или гиперболой (все другие кривые второго порядка соответствуют исключительным, особым случаям).
8
Достаточно взять уравнение (х — 1) ... (х — n) = 0; к приведенным рассуждениям остается добавить очень немного, чтобы получить вполне строгое доказательство "основной теоремы алгебры", по которой всякое уравнение степени n имеет n комплексных корней.