И завершает изучение темы
4) Итоговая тематическая аттестация.
Формы ее проведения такие же, как и при проведении промежуточной аттестации.
Подобная система оценивания знаний способствует реализации индивидуального подхода в обучении, повышению эффективности учебно-воспитательного процесса.
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ ФУНКЦИЙ
В.В. Корольский
Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический университет
Рассматриваем функцию f( x), непрерывную на промежутке [ a, b] и дифференцируемую в точках x ] a, b[. Представим [ a, b] как сумму элементарных частей вида [( n -1) α, nα]:
[ a, b] = , (1)
где: n, k N; α=.
На каждом промежутке [( n -1) α, nα] f( x) удовлетворяет условиям известной теоремы Лагранжа. Следовательно, можно записать:
(2)
Если подобрать
αтак, чтобы вычисление значений функций
f(
a),
f(
a+
α),
f(
a+ 2
α), ...,
f(
a+ (
k– 1)
α) сводилось к минимуму самых элементарных операций, то на основании равенств (2) получаем достаточно простую схему приближенных вычислений
f(
x) для
x
(3)
В результате приходим к интерполяционному многочлену с равностоящими узлами интерполяции и шагом интерполяции α:
(4)
Поскольку рассматривается задача приближенного вычисления отдельных значений функции f( x), то для практических целей более целесообразно пользоваться формулой:
(5)
Выбор αзависит от вида функции f( x) и необходимой точности вычислений ее приближенных значений. Как правило, αвыбирается кратным 2, 5 или 10, но возможны и другие варианты. Для x = a + nαимеем
f( x) = f( a + nα), где n= 0, 1, ..., k.
Рассмотрим в качестве примера применение формулы (5) для приближенных вычислений функций
f(
x) =
a
x
Полагаем, что x [0; ∞[. Тогда имеем:
(6)
где α =1/ l, l =1, 2, 4, ... и т.п.
Запишем (6) в следующем виде:
, (7)
где множители и унифицируются:
и т.д.
Значение . Например, l =1 и l =2 соответственно имеем:
, (8)
. (9)
Если вычисления выполняются при значениях x N, то формулы (8) и (9) имеют достаточно простой вид:
.
В тех случаях, когда x R / N, важно то, что вычисления выполняются только с натуральными показателями и унифицированными множителями:
a α –1 = a– 1; , и т.д. (если в этом есть необходимость в смысле достижения более высокой точности результатов вычисления); является дробной частью числа и практически вычислений не требует.
Сходимость метода очевидна:
.
В таблице 1 приведены результаты вычисления значений функции e x при различных величинах lи для сопоставления приведены некоторые данные по значениям функции e x из таблицы Брадиса.
Таблица 1
e x
Табличное значение
Вычисления по формуле (7), α =1/ l
l=1
l=2
l=4
l=8
l=16
e 0,45
1,5683
1,7732
1,5838
1,5757
1,5711
1,5689
Точность вычислений, %
—
13,06
0,99
0,47
0,18
0,04
e 1,45
4,2631
4,8201
4,3052
4,2828
4,2702
4,2639
Точность вычислений, %
—
13,04
0,97
0,46
0,17
0,02
e 2,45
11,5882
13,1027
11,7001
11,6405
11,6074
11,5889
Точность вычислений, %
—
13,03
0,96
0,45
0,16
0,01
Данные таблицы показывают, что вычисление с точностью до трех верных знаков достигается, если взять α =1/16. Однако, достаточная для практического использования точность вычислений до 1% достигается при α =1/2, при α =1/4 точность вычислений не превышает 0,5%, учитывая, что мы берем приближенное значение числа e, эти результаты говорят о достаточно высокой эффективности рассмотренного метода приближенного вычисления функций.
Метод может быть рекомендован для использования при разработке программ для приближенных вычислений функций на лабораторных занятиях по информатике.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
В.В. Корольский
г. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический университет
Государственная политика реформирования системы высшего образования Украины, выдвинутая в национальной программе «Освіта: Україна ХХІ століття” в качестве главного требования выдвигает вооружение выпускников вузов начала ХХІ столетие методологией самостоятельной творческой научно-практической деятельности. Указанное требование направляет научную и учебно-методическую работу кафедр на расширение роли самостоятельной познавательной деятельности обучаемых в процессе изучения теории и овладения методами ее приложения к решению практических задач в рамках каждой учебной дисциплины и цикла родственных дисциплин в целом.
В контексте сказанного основной задачей преподавателя в его учебно-методической деятельности является не репродуцирование набора готовых знаний, а организация активной самостоятельной работы обучаемых. И, если до начала 90-х годов ХХ ст. по этому поводу можно дискутировать, то в современных условиях, когда количество научных дисциплин в учебных планах подготовки учителей математики и основ информатики выросло с 34% до 50% и значительный объем программного материала (до 50%) вынесен на самостоятельное изучение студентами, проблемы самостоятельной работы студентов (СРС) при изучении математических дисциплин становится не только в высшей мере актуальной, но и приобретает признаки дуальности.
С одной стороны, на кафедрах и факультете в целом необходимо организовать систему СРС, с другой стороны, необходимо студентов обучить методам самостоятельной работы при повседневном изучении теории и методов ее приложения для решения практических задач.
Рассмотрим условия, в которых необходимо искать решение проблемы организации и повышения эффективности СРС при изучении математических дисциплин на физико-математическом факультете (ФМФ):
в отличие от общеобразовательных школ, где практически единственной учебной формой является урок, в вузе учебные функции реализуются через лекции, практические и лабораторные занятия, консультации, коллоквиумы, зачеты и экзамены, курсовые и дипломные работы;
огромные усилия, затрачиваемые преподавателями вузов, в значительной мере не достигают поставленных учебных целей, потому, что в силу условий нет должного взаимодействия между преподавателями и отдельным студентом, то есть нет эффективной постоянно действующей обратной связи в подсистеме: “преподаватель ↔ студент”;