Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби, цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с помощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение √2? Ответ: нам известно лишь его приближенное значение, хотя точность может быть сколь угодно высокой — не больше и не меньше. При этом слова «точность может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная дробь полностью находится под нашим контролем.
Британский математик Брук Тейлор (1685–1731) вычислил приближенное значение √2 при помощи последовательности сумм:
Члены этой последовательности постепенно сходятся к √2 поочередно слева и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения первых девяти членов.
Таким образом, начав с 1 — оценки √2 слева и 1,5 — оценки справа, мы постепенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идет о бесконечных последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению √2, однако утверждать, что √2 — конкретное число, означает признать существование актуальной бесконечности.
Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверенным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.
Рассмотрим, как можно увязать между собой нечто бесконечно большое (бесконечное продолжение прямой) и бесконечно малое (деление на бесконечно много частей). Допустим, что даны две параллельные прямые r и r'.
Обозначим на первой точку Р, которую будем использовать как начало отсчета. Теперь отметим на второй прямой точку Q, расположенную, например, на перпендикуляре, проведенном к r через точку Р. Угол между отрезком PQ и r' равен 90° (прямой угол). Переместим точку Q, которая находится на прямой r', вправо.
Заметим, что угол ОС изменился, и по мере того, как мы перемещаем точку Q все дальше вправо, он постепенно уменьшается. Очевидно, что чем дальше точка Q, тем меньше угол α. Бесконечное продолжение прямой, вызванное движением точки Q, неразрывно связано с непрерывным уменьшением угла до сколь угодно малых значений. Если говорить простым языком, можно сказать, что одно становится бесконечно большим, а другое одновременно — бесконечно малым. Здесь важно отметить следующее: точка Q смещается вправо по прямой r' непрерывно, и угол уменьшается также непрерывно.
Рассмотрим ситуацию с иной точки зрения. Будем уменьшать угол и наблюдать за тем, как точка Q удаляется в бесконечность. Расстояние от точки Q до прямой r сохраняется и равно расстоянию между двумя параллельными прямыми. Ключевой вопрос звучит так: что произойдет, когда угол, образуемый отрезком PQ и прямой r, станет равен нулю? Ответ таков: точка Q станет бесконечно удаленной, причем не произвольной, а такой, в которой обе прямые сойдутся. Пока что все в порядке, но переход к бесконечности вновь оказался болезненным. Потенциальная бесконечность, которую мы себе представляли, стала актуальной бесконечностью, и мы получили удивительный результат: расстояние от точки Q до прямой r вдруг стало равным нулю.
Можно ли считать этот эксперимент исключительно мысленным? Мы никогда не увидим, как точка Q становится частью прямой r, и принимаем как данность, что после этого прыжка в бесконечность создается принципиально новая ситуация.
Современная физика предлагает модель, в которой этот мысленный эксперимент совершенно реален. Когда Планк сформулировал основы квантовой механики, он предложил сценарий, весьма похожий на только что описанный. В модели атома, принятой в современной физике, электрон, который вращается по орбите с энергетическим уровнем r', может совершить квантовый скачок и перейти на иной энергетический уровень r. Более того, этот переход совершается не последовательно, а скачкообразно. Можно сказать, проведя параллель с нашим примером, что электрон непрерывно накапливает энергию аналогично тому, как непрерывно уменьшается величина угла α. В какой-то конкретный момент электрон (наша точка Q) переходит с одного энергетического уровня на другой. В этом смысле можно признать правоту Зенона, пусть это и приведет к противоречию. Не существует движения в том смысле, как мы его понимаем, которое перемещает электрон с одной орбиты на другую. Существуют два различных физических состояния, в которых потенциальная и актуальная бесконечность удивительным и загадочным образом сосуществуют в пространстве и времени.
Глава 3. Встречи на бесконечности
Первыми, кто «увидел» бесконечность в пространстве, были не философы и не геометры, а художники Возрождения. Свободные от строгих ограничений церкви, благодаря знакомству с математическими трудами древних греков они открыли новый путь в математике, где бесконечность перестала быть чем-то запретным, носящим на себе печать абсолютного зла.
Когда говорят о Возрождении, мы сразу представляем себе многочисленные произведения живописи, скульптуры, архитектуры, новые технологии, но практически ничего, что имело бы отношение к математике. Причина в том, что важнейшей задачей для представителей этого периода было восстановление уже известного.
В Средневековье труды греков и арабов, в которых описывались фундаментальные основы алгебры и геометрии, были преданы забвению (или задвинуты на дальние полки библиотек немногочисленных монастырей). Однако именно в геометрии служители искусства эпохи Возрождения, особенно живописцы, добились выдающихся результатов. Важную роль сыграло геометрическое воплощение бесконечности.
Как правило, представители Возрождения владели различными знаниями, относившимися не только к искусству, но и к науке. Их работы часто оплачивали меценаты или короли, которые заказывали картины, скульптуры, музыкальные произведения, здания или сокровищницы для хранения королевских ценностей и даже подробные исследования, посвященные траектории снарядов.
Художники Возрождения унаследовали от прошлой эпохи живопись религиозного характера, в которой существовали жестко определенные правила относительно использования цветов и изображения фигур. Так, святые должны были изображаться на позолоченном фоне как символ того, что они находятся на небесах.
Большинство цветов, равно как и расположение и размеры персонажей, имели особое значение, связанное с местом персонажей в иерархии. Однако наиболее важным было то, что все герои изображались в очевидно двумерном пространстве: они были плоскими, а стиль живописи напоминал древнеегипетский. Безусловно, это делалось умышленно и имело символическое значение: определенных святых нельзя было изображать реалистично, так как они противопоставлялись всему земному.
* * *
ДУХ ВОЗРОЖДЕНИЯ
Леонардо да Винчи (1452–1519), ярчайший пример гения эпохи Возрождения, в «Трактате о живописи» размышляет о понятии непрерывности в его философском смысле не только потому, что оно принадлежит исключительно к философии, но и потому, что используется во множестве других дисциплин: «Если ты скажешь, что немеханическими науками являются науки умозрительные, то я скажу, что живопись умозрительна и что как музыка и геометрия рассматривают пропорции непрерывных величин и как арифметика — прерывных, так и она в своей перспективе рассматривает все непрерывные количества и качества отношений теней и светов и расстояния».