На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал изображен Зенон Элейский, показывающий ученикам врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas).
* * *
Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.
Во-первых, обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трактовки: как нечто бесконечно протяженное и как нечто бесконечно делимое. В первом парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему ограниченное пространство, которое делится на бесконечное множество частей, не может быть пройдено за конечное время. Проводится следующее различие: в непрерывном пространстве, в котором движется тело, существует бесконечное число половин расстояний, но потенциально, а не в действительности. В этом заключается важность вклада Аристотеля, так как начиная с этого момента возникли две различные трактовки бесконечности, в определенном смысле несовместимые: так называемая потенциальная и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в предыдущей главе.
Мы очень часто определяем, что верно, а что нет, руководствуясь здравым смыслом, основанным на чувствах, которые, говоря языком современных технологий, можно определить как средства фиксации и обработки окружающей нас реальности.
Нечто является разумным в той степени, в которой на это указывают наши ощущения. Сколь парадоксальным ни казался бы нам полет стрелы, органы чувств ясно указывают, что стрела отдаляется от нас. Разумеется, Зенону это было прекрасно известно, но ему также было известно, что чувства не всегда могут служить надежной опорой разуму.
Он рассуждал так: подобно тому, как у вещи либо есть размеры, либо нет, предмет издает или не издает звук. Корзина, полная зерен пшеницы, издает определенный звук, когда мы тянем ее по земле. Зенон задавался вопросом: издает ли звук одно-единственное зерно? Если да, то издает ли звук половина зерна? Как можно предположить, если и далее последовательно делить зерно на части, наступит момент, когда этот звук будет неразличим. Исходя из этого факта, можно утверждать, что сумма элементов, равных нулю, всегда будет нулевой, то есть если мы соберем вместе множество предметов, не издающих звук, то и их совокупность также не будет издавать звуков.
Целью Зенона было показать, что в определенных рассуждениях мы не можем доверять нашим органам чувств — они должны уступить место интуиции, что часто и происходит при математических рассуждениях. Однако, как вы увидите далее на примере теорий Кантора, интуиция также может быть обманчивой, и мы не можем руководствоваться ею тогда, когда бесконечность является реальным объектом, с которым можно работать так же, как с натуральными числами.
Зенон считал, что нечто может состоять из бесконечного числа элементарных частей только тогда, когда каждая из этих частей не имеет размера: в противном случае эти части можно разделить, и они не могут считаться элементарными. Однако если части объекта не имеют размеров, то не имеет размеров и сам объект, так как сумма величин, не имеющих размера, также не может иметь размер.
Так греки определили термин «апейрон», который пришел на смену понятию «бесконечность». Апейрон означал отсутствие четко определенного предела. Это соответствовало идее, согласно которой предмет бесконечен, поскольку может иметь сколь угодно большие размеры. Апейрон не относился, например, к бесконечному числовому ряду, в котором не существует последнего числа. Аналогичным образом определялись бесконечно малые величины, которые могут иметь сколь угодно малые размеры. Этому понятию было дано строгое определение в математическом анализе лишь в XIX веке.
Задачам на построение с помощью циркуля и линейки, известным с античных времен, в Древней Греции уделялось большое внимание. Разнообразие этих задач очень велико — они могут быть очень простыми, очень сложными, а порой и вовсе не имеющими решения. Наиболее известны из них задачи о трисекции угла, удвоении куба и квадратуре круга — сложность последней вошла в поговорку.
Когда речь идет о построениях с помощью циркуля и линейки, следует придерживаться определенных правил, так как в противном случае задачи становятся тривиальными. Например, найти середину отрезка с помощью линейки, на которую нанесены миллиметровые деления, очень просто — для этого даже не потребуется циркуль. Но определим, что мы будем понимать под «линейкой» при решении этих задач. Линейка — это идеальный предмет с абсолютно ровной границей, который служит для проведения прямых. На ней отсутствуют какие-либо отметки, позволяющие измерить расстояние. Циркуль представляет собой обычный циркуль, раствор которого может быть любым. Логично, что его нельзя использовать для нанесения меток, с помощью которых можно измерить расстояние.
* * *
ЦИРКУЛЬ МАСКЕРОНИ
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки всегда занимали почетное место среди занимательных задач. Одна из наиболее любопытных публикаций на эту тему принадлежит землемеру Уильяму Лейбурну, который в 1694 году опубликовал книгу Pleasure with Profit («Приятное с полезным»), где описал всевозможные математические «игры с линейкой и вилами» (под вилами имелся в виду циркуль с фиксированным раствором). Одно из величайших открытий, связанных с задачами такого типа, было совершено в 1794 году, когда итальянский геометр Лоренцо Маскерони в своей работе Geometria del Compasso доказал, что любое построение, которое можно совершить с помощью циркуля и линейки, также можно выполнить с помощью только циркуля (разумеется, раствор которого не фиксирован). Так как провести прямую с помощью циркуля невозможно, Маскерони считал, что она определяется двумя точками, заданными пересечением дуг.
* * *
Определив правила игры, можно приступить к решению задач. Рассмотрим, например, как можно провести перпендикуляр к отрезку в его середине. Допустим, дан отрезок АВ. Сначала нужно провести окружность с центром в точке А и радиусом АВ. Далее нужно построить другую окружность такого же радиуса, но с центром в точке В. Прямая, соединяющая точки пересечения окружностей, и будет требуемым перпендикуляром.
Следует предостеречь читателя от бесплодных попыток решить задачу о квадратуре круга: в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число 71 является трансцендентным, поэтому эта задача не имеет решения.
Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с произвольным числом сторон, площадь которого будет равна площади данного квадрата. Хотя существование решения этой задачи доказано теоретически, найти его не всегда просто. Использовав это доказательство, Антифонт из Афин (ок. 480–411 гг. до н. э.) изложил метод решения задачи о квадратуре круга, логику которого сложно оспорить. Его суть заключалась в следующем: будем исходить из того факта, что можно построить квадрат, площадь которого будет равна площадям ряда правильных многоугольников, которые мы построим. Впишем в данную окружность шестиугольник.