Когда мы применяем к аксиомам определенные правила вывода, например modus ponens или modus tollens, мы получаем новые истинные высказывания, которые в математике называются теоремами. Истинность теорем определяется доказательствами — конечными последовательностями высказываний, первым из которых является аксиома, следующими — либо аксиомы, либо утверждения, полученные из предыдущих по правилам вывода. Теория представляет собой множество аксиом, правил вывода и всех теорем, которые можно доказать с помощью этих правил на основе аксиом.
Логика — раздел математики, занимающийся изучением теорий в абстрактном виде. Поэтому любая система аксиом вызывает у логика интерес не своим содержанием, а тем, соответствует ли она трем свойствам: непротиворечивости, рекурсивной перечислимости и полноте. Первое свойство гарантирует, что теория не содержит противоречий, и это необходимый минимум, позволяющий построить математическое здание. Рекурсивная перечислимость означает, что теория не содержит слишком много аксиом — иначе возникнет ситуация, когда мы не сможем определить, является ли данное доказательство истинным. Наконец, полнота теории означает, что ее аксиом достаточно для вывода всех истинных утверждений в области, к которой она относится. Иными словами, в такой теории можно доказать или опровергнуть любое утверждение формальными методами.
В следующей главе мы рассмотрим ряд парадоксов, которые в конце XIX столетия пошатнули тысячелетние основы математики. К счастью, вскоре были предложены различные решения, для которых кажущейся непротиворечивости аксиом было недостаточно — ее еще нужно было доказать. Об этой формалистской программе мы поговорим в главе 3. Затем мы расскажем об одном из прекраснейших элементов логики — теореме Гёделя о неполноте, которая определяет равновесие между непротиворечивостью, полнотой и рекурсивной перечислимостью.
Глава 2
Парадоксы
Парадокс есть сама страсть мыслителя.
Сёрен Кьеркегор
Хотя родители юного Бертрана Рассела в своем завещании указали, что их младший сын должен воспитываться на тех принципах, во имя которых они сражались во времена викторианской Англии, бабушка со стороны отца не допустила, чтобы этот мальчик с умными глазами стал атеистом. Ребенка передали воспитательницам, которые в классическом духе обучали Бертрана религии и иностранным языкам, благодаря чему юный аристократ в совершенстве овладел французским, немецким и итальянским и несколькими годами позже смог с легкостью путешествовать по всему миру. Однако в те далекие дни юности Бертран думал лишь о замысловатых греческих символах, которые так подходили для того, чтобы выразить его печальные мысли о самом себе и о выпавшей ему доле.
Меланхолию не развеяло даже поступление в академию города Саутгейт для подготовки ко вступительным экзаменам в Кембриджский университет. Рассел надеялся, что общение со сверстниками ему поможет, он представлял себе идиллические картины, в которых он читал великих английских поэтов и обсуждал их творчество с другими учениками или спорил до рассвета о занимавших его философских проблемах. В действительности его ждала группа молодых людей, которые думали только о выпивке и волочились за женщинами, а женщины при каждом удобном случае смеялись над робким впечатлительным юношей. Подобно романтическим героям, Бертран многие вечера провел, гуляя по тропинкам Саутгейта, любуясь закатом и думая о самоубийстве.
Он не сделал этот последний шаг не потому, что ему не хватило духа, а потому, что когда Бертрану было 11 лет, его брат Фрэнк открыл ему врата рая, который стал для него настоящим спасением и о котором еще столько предстояло узнать. Знакомство юного Рассела с райским садом «Начал» Евклида, к которым он обращался всякий раз, когда враждебный мир делался невыносимым, было подобно первой любви. Однако счастье Бертрана было неполным — хотя, по рассказам, греческий мудрец доказал все, каждый, кто открывал страницы этой книги, должен был принять на веру следующее утверждение: «Точка есть то, что не имеет частей».
Бертран Рассел в 1893 году в возрасте 21 года, удостоенный степени бакалавра математики кембриджского Тринити-колледжа.
А если бы она имела части? «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую». А если нельзя? Бертран неохотно прислушался к совету брата, говорившего, что если не принять аксиомы на веру, обучение продолжить нельзя.