История Евклида и его труда, «Начал», где он изложил свои идеи, восходит к 300 году до н. э. Именно тогда этот древнегреческий математик, о котором нам почти ничего не известно, составил учебник по геометрии, где систематизировал все знания, которые до этого из уст в уста передавались пифагорейцами и учениками Платона. В то время как над входом в Академию Платона можно было прочесть фразу «Да не войдет сюда не знающий геометрии», «Начала» Евклида были предназначены для неподготовленного читателя и помогали понять науку о формах и фигурах с помощью простейших формулировок. Чтобы сделать свой труд более понятным и одновременно подчеркнуть четкость и строгость геометрии, Евклид начал изложение с ряда определений и аксиом, из которых, запасясь терпением, логически можно было вывести любое из сотен предложений, записанных в книге. Возможно, создание никакого другого учебника не имело столь радикальных последствий для развития всей человеческой мысли на протяжении последующих двух тысяч лет.
Евклид на картине Рафаэля «Афинская школа». Греческий математик изображен в окружении учеников, с циркулем в руках.
В словарях аксиома определяется как истина, не требующая доказательства ввиду своей очевидности. В этом смысле аксиомы являются выводами, к которым без особых усилий может прийти любой человек, даже далекий от цивилизации. Евклид проводил различие между общими утверждениями и постулатами: в то время как аксиомы вида «равные одному и тому же равны и между собой» применимы как к правильным многоугольникам, так и к богам, постулаты являются исключительно частью геометрии. Александрийскому мудрецу хватило пяти постулатов, на которые опирались «Начала». Первые три постулата гласили, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой и что из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Четвертый постулат гласил, что все прямые углы равны между собой, а согласно пятому, в размышлениях над которым Тауринус провел много месяцев, если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Две прямые пересекаются в той части плоскости, где углы меньше двух прямых.
Возможно, что первое впечатление современного читателя будет таким же, как и у современников Евклида: пятый постулат не столь очевиден, как предыдущие, и чтобы понять его, не обойтись без карандаша и бумаги. Именно поэтому очень скоро геометры начали ставить под сомнение его принадлежность к аксиомам и пытались доказать его исходя из остальных постулатов. Однако все подобные попытки оставались безрезультатными, хотя и позволяли получить утверждения, эквивалентные пятому постулату, которые помогали лучше понять его следствия. Наиболее известные следствия пятого постулата гласят, что сумма углов треугольника равна 180°, а через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Независимо от точной формулировки постулата о параллельности прямых ученые сомневались, является ли он самостоятельным относительно других постулатов или же, напротив, выводится из них с помощью искусных рассуждений и его можно исключить из списка аксиом. Через эти сомнения прошли все греческие и арабские комментаторы «Начал» и исследователи эпохи Возрождения.
Каково же было удивление Франца Адольфа Тауринуса в то ноябрьское утро, когда он, вместо того чтобы, превзойдя лучшие умы в истории, довольствоваться заслуженной славой, получил письмо, в котором Гаусс признавался, что после тридцати лет размышлений пришел к выводу: может существовать геометрия, в которой пятый постулат не выполняется. Однако эту новую, неевклидову науку следовало сохранять в тайне до тех пор, пока не будут уточнены все детали ряда теорем, которые, казалось, противоречили общепринятым убеждениям, незыблемым на протяжении двух тысячелетий. Новую геометрию не приняли бы те, кто считал, что треугольники и круги, описанные в книге природы, выглядят именно так, как их описал Евклид, и никак иначе. Ведь, подобно Аристотелю для схоластиков, Евклид был не просто человеком, но источником почти священного знания.